IphO 2016 Theory Two Problems in Mechanics
Yüklə 75,35 Kb. Pdf görüntüsü
|
| Theory Azerbaijan (Azerbaijan) Q1-1 Two Problems in Mechanics-Mexanikaya aid iki məsələ (10 points) Please read the general instructions in the separate envelope before you start this problem. Bu məsələni yerinə yetirməyə başlamadan sizə təqdim olunan ayrıca zərfdəki “Ümumi Gös- rərişlərlə”tanış olun. Part A. The Hidden Disk -Hissə A: Gizlədilmiş disk (3.5 points) We consider a solid wooden cylinder of radius ?????? 1 and thickness ℎ 1 . Somewhere inside the wooden cylin- der, the wood has been replaced by a metal disk of radius ?????? 2 and thickness ℎ 2 . The metal disk is placed in such a way that its symmetry axis ?????? is parallel to the symmetry axis ?????? of the wooden cylinder, and is placed at the same distance from the top and bottom face of the wooden cylinder. We denote the distance between ?????? and ?????? by ??????. The density of wood is ?????? 1 , the density of the metal is ?????? 2 > ??????
1 . The total mass of the wooden cylinder and the metal disk inside is ??????.
1
1
2
2
1
2 > ??????
1 Metal disk gizlədilmiş silindirin (ikisisin birlikdə) ümumi kütləsi M dir. In this task, we place the wooden cylinder on the ground so that it can freely roll to the left and right. See Fig. 1 for a side view and a view from the top of the setup.
The goal of this task is to determine the size and the position of the metal disk. Bu məsələdə məqsəd metal diskin yerini və ölçülərini tapmaqdır. In what follows, when asked to express the result in terms of known quantities, you may always assume that the following are known:
??????
1 , ℎ
1 , ??????
1 , ??????
2 , ?????? . (1) The goal is to determine ?????? 2 , ℎ
2 and ??????, through indirect measurements. Məqsəd?????? 2 , ℎ 2 və ??????-ni müxtəlif ölçmə və müşahidə nəticələrinə görə təyin etməkdir. Theory Azerbaijan (Azerbaijan) Q1-2 S B r 1 d r 2 S B r 1 h 1 r 2 h 2 a) b) Figure 1: a) side view b) view from above Şəkil 1: a) En kəsiyinin görünüşü b) yandan görünüş. We denote ?????? as the distance between the centre of mass ?????? of the whole system and the symmetry axis ?????? of the wooden cylinder. In order to determine this distance, we design the following experiment: We place the wooden cylinder on a horizontal base in such a way that it is in a stable equilibrium. Let us now slowly incline the base by an angle Θ (see Fig. 2). As a result of the static friction, the wooden cylinder can roll freely without sliding. It will roll down the incline a little bit, but then come to rest in a stable equilibrium after rotating by an angle ?????? which we measure. Tutaq ki bütün sistemin C -kütlə mərkəzi ilə ağac silindirin S simmetriya oxu arasındakı məsafə b-dir. Bu məsafəni tapmaq üçün belə bir təcrübə etmək olar. Silindir üfüqi müstəvinin üzərinə elə qoyulur ki, o dayanıqlı tarazlıqda olur. Müstəvini ehmallıca Θbucağı qədər meyl etdiririk (Şəkil- 2). Sükünət sürtünməsinə görə silindir sürüşmədən diyirlənə bilər. Ağac silindir bir qədər diyir- lənərək yenidən dayanıqlı tarazlıq vəziyyətinə gələcək. Bu zaman silindirin dönmə bucağı ?????? qədər olacaq. S
Θ Figure 2: Cylinder on an inclined base. Şəkil-2: Maili müstəvi üzərində duran silindir. Theory Azerbaijan (Azerbaijan) Q1-3 A.1 Find an expression for ?????? as a function of the quantities (1), the angle ?????? and the tilting angle Θ of the base.
0.8pt From now on, we can assume that the value of ?????? is known. Bundan sonra qəbul edəcəyik ki b kəmiyyəti məlumdur. S
Figure 3: Suspended system
Next we want to measure the moment of inertia ?????? ?????? of the system with respect to the symmetry axis ??????. To this end, we suspend the wooden cylinder at its symmetry axis from a rigid rod. We then turn it away from its equilibrium position by a small angle ??????, and let it go. See figure 3 for the setup. We find that ?????? describes a periodic motion with period ?????? .
??????
ətalət momentini tapmağa çalışacağıq. Silindir S simmetriya oxundan sərt çuxuqla tavana bağlanmışdır və S oxu ətrafında sürtünməsiz fırlana bilər. Daha sonra silindiri tarazlıq vəziyyətindən kiçik ?????? bucağı qədər fırladaraq sərbəst buraxırlar. Qurğu- nun sxemi Şəkil-3 də verilib. Bu zaman görünür ki, silindir ?????? bucağının periodik dəyişməsi ilə S oxu ətrafında T periodu ilə rəqs edir. A.2 Find the equation of motion for ??????. Express the moment of inertia ?????? ?????? of the
system around its symmetry axis ?????? in terms of ?????? , ?????? and the known quantities (1). You may assume that we are only disturbing the equilibrium position by a small amount so that ?????? is always very small. ??????
bucağından asılı hərəkət tənliyini yazın. Silindirin S oxuna nəzərən ?????? ??????
ətalət momentini, məlum (1) kəmiyyətləri, b məsafəsi və T periodu ilə ifadə edin. Meyl bucağı ?????? -ni çox kiçik qəbul edə bilərsiniz. 0.5pt
From the measurements in questions A.1 and A.2, we now want to determine the geometry and the position of the metal disk inside the wooden cylinder. A1 və A2 ölçmələrinin nəticələri əsasında ağac silindirin içərisində gizlədilmiş metal diskin həndəsi Theory Azerbaijan (Azerbaijan) Q1-4 parametrlərini və yerini təyin etməyə çalışın. A.3 Find an expression for the distance ?????? as a function of ?????? and the quantities (1). You may also include ?????? 2 and ℎ 2 as variables in your expression, as they will be calculated in subtask A.5.
??????
2 və ℎ 2
də hesablayacağıq. 0.4pt
A.4 Find an expression for the moment of inertia ?????? ?????? in terms of ?????? and the known quantities (1). You may also include ?????? 2 and ℎ 2 as variables in your expression, as they will be calculated in subtask A.5. ??????
?????? ətalət momentini b məsafəsi və məlum (1) kəmiyyətləri ilə ifadə edin. Bu zaman ?????? 2
2
0.7pt
A.5 Using all the above results, write down an expression for ℎ 2 and ?????? 2 in terms of ?????? , ?????? and the known quantities (1). You may express ℎ 2 as a function of ?????? 2 .
2 və ?????? 2
məsafəsi, T və məlum (1) kəmiyyətlərlə ifadə edin. ℎ 2
2
1.1pt
Part B. Rotating Space Station -Fırlanan kosmik stansiya (6.5 points) Alice is an astronaut living on a space station. The space station is a gigantic wheel of radius ?????? rotating around its axis, thereby providing artificial gravity for the astronauts. The astronauts live on the inner side of the rim of the wheel. The gravitational attraction of the space station and the curvature of the floor can be ignored.
At what angular frequency ?????? ???????????? does the space station rotate so that the astro- nauts experience the same gravity ?????? ??????
as on the Earth’s surface? Kosmik gəmi öz oxu ətrafında hansı ?????? ???????????? bucaq sürəti ilə fırlanmalıdır ki, kosmonavtlar yerin səthindəki ?????? ??????
ağırlıq qüvvəsinə bərabər “süni ağırlıq qüvvəsi” hiss eləsinlər. 0.5pt
Alice and her astronaut friend Bob have an argument. Bob does not believe that they are in fact living in a space station and claims that they are on Earth. Alice wants to prove to Bob that they are living on a rotating space station by using physics. To this end, she attaches a mass ?????? to a spring with spring constant ?????? and lets it oscillate. The mass oscillates only in the vertical direction, and cannot move in the horizontal direction.
Theory Azerbaijan (Azerbaijan) Q1-5 paralel) hərəkət mümkün deyil. B.2 Assuming that on Earth gravity is constant with acceleration ?????? ?????? , what would be the angular oscillation frequency ?????? ??????
that a person on Earth would measure? Təcrübə Yerin səthində aparılsaydı və ?????? ??????
sərbəsdüşmə təcili sabit olsaydı bu rəqsin ?????? ??????
tezliyi nəyə bərabər olardı? 0.2pt
B.3 What angular oscillation frequency ?????? does Alice measure on the space station? Kosmik gəmidə aparılan təcrübədə Alisa rəqsin ?????? tezliyi üçün hansı ifadəni əldə edər? 0.6pt
Alice is convinced that her experiment proves that they are on a rotating space station. Bob remains sceptical. He claims that when taking into account the change in gravity above the surface of the Earth, one finds a similar effect. In the following tasks we investigate whether Bob is right.
R ω ss Figure 4: Space station Şəkil-4: Kosmik gəmi B.4 Derive an expression of the gravity ?????? ?????? (ℎ)
for small heights ℎ above the surface of the Earth and compute the oscillation frequency ̃?????? ?????? of the oscillating mass (linear approximation is enough). Denote the radius of the Earth by ?????? ??????
. Neglect the rotation of Earth. Yerin səthinə yaxın h hündürlüklərində sərbəstdüşmə təcilinin ?????? ??????
(ℎ) dəqiqləşdirilmiş ifadəsini əldə edin. Bu zaman yalnız xətti yaxınlaşmadan istifadə edin. Sərbəstdüşmə təcilinin dəqiqləşdirilmiş ifadəsindən istifadə edərək rəqsin ̃?????? ??????
tezliyininin ifadəsini yazın. Yerin ?????? ??????
radiusunun ver- ildiyini qəbul edin. Yerin öz oxu ətrafında fırlanmasını nəzərə almayın. 0.8pt
Indeed, for this space station, Alice does find that the spring pendulum oscillates with the frequency that Theory Azerbaijan (Azerbaijan) Q1-6 Bob predicted. Alisa doğrudan da görür ki rəqqas Bobun dediyi tezlikdə rəqs edir. B.5 For what radius ?????? of the space station does the oscillation frequency ?????? match the oscillation frequency ̃?????? ??????
on the Earth? Express your answer in terms of ?????? ??????
. Kosmik gəminin radiusunun hansı R qiymətində gəmidəki rəqsin ?????? tezliyi ilə yerin səthindəki ̃?????? ??????
tezliyi eyni olacaq. Cavabınızı yerin radiusu ?????? ??????
-ilə ifadə edin. 0.3pt
Exasperated with Bob’s stubbornness, Alice comes up with an experiment to prove her point. To this end she climbs on a tower of height ?????? over the floor of the space station and drops a mass. This experiment can be understood in the rotating reference frame as well as in an inertial reference frame.
In a uniformly rotating reference frame, the astronauts perceive a fictitious force ⃗ ?????? ??????
called the Coriolis force. The force ⃗ ?????? ??????
acting on an object of mass ?????? moving at velocity ⃗?????? in a rotating frame with constant angular frequency ⃗?????? ???????????? is given by Hesablama sistemi sabit bucaq sürəti ilə fırlandığı zaman cisimlərə ⃗ ??????
?????? -Kariolis qüvvəsi adlanan ətalət qüvvəsi təsir edir. ⃗?????? ???????????? sabit sürəti ilə fırlanan hesablama sistemində, m kütləli cisim ⃗?????? sürəti ilə hərəkət etdikdə ona təsir edən Kariolis qüvvəsi aşağıdakı kimi ifadə olunur. ⃗ ?????? ?????? = 2?????? ⃗ ?????? × ⃗ ??????
???????????? . (2) In terms of the scalar quantities you may use Qüvvənin ədədi qiyməti skalyar şəkildə aşağıdakı kimi ifadə edilir. ??????
?????? = 2?????????????????? ???????????? sin ?????? , (3) where ?????? is the angle between the velocity and the axis of rotation. The force is perpendicular to both the velocity ?????? and the axis of rotation. The sign of the force can be determined from the right-hand rule, but in what follows you may choose it freely. Burada ?????? bucağı sürətin istiqaməti ilə sistemin fırlanma oxu arasındakı qalan bucaqdır. Qüvvə hər zaman cismin sürəti ??????- yə və fırlanma oxuna perpendikulyardır. Qüvvənin istiqamətini sağ əl qaydası ilə təyin edə bilərsiniz. B.6 Calculate the horizontal velocity ?????? ?????? and the horizontal displacement ?????? ?????? (relative to the base of the tower, in the direction perpendicular to the tower) of the mass at the moment it hits the floor. You may assume that the height ?????? of the tower is small, so that the acceleration as measured by the astronauts is constant during the fall. Also, you may assume that ?????? ?????? ≪ ??????
. Cisim səthə çatan anda Karolis qüvvəsinin hesabına cisim müəyyən bir üfüqi sürət (qülləyə perpendikulyar) qazanmış olacaq. Həmin ?????? ??????
-in ifadəsini əldə edin. Cisim səthə çatana qədər üfüqi istiqamətdə hansı ?????? ??????
yerdəyişməsi (qüllənin dibinə nəzərən və qülləyə perpendikilyar) edəcək? H o qədər kiçikdir ki, kosmik gəmidəki cisimlərin süni ağırlıq qüvvəsinin təcili cisim səthə çatana qədər sabit qəbul edilə bilər. Həmçinin ?????? ??????
≪ ?????? qəbul edə bilərsiniz. 1.1pt
Theory Azerbaijan (Azerbaijan) Q1-7 To get a good result, Alice decides to conduct this experiment from a much taller tower than before. To her surprise, the mass hits the floor at the base of the tower, so that ?????? ??????
= 0 .
müşahidə edir ki, sərbəst buraxdığı cisim qüllənin dibinə düşür. Yəni ?????? ??????
= 0 olur və Alisa çox təc- cüblənir. B.7 Find a lower bound for the height of the tower for which it can happen that ?????? ??????
= 0 .
?????? = 0
olar? 1.3pt
Alice is willing to make one last attempt at convincing Bob. She wants to use her spring oscillator to show the effect of the Coriolis force. To this end she changes the original setup: She attaches her spring to a ring which can slide freely on a horizontal rod in the ?????? direction without any friction. The spring itself oscillates in the ?????? direction. The rod is parallel to the floor and perpendicular to the axis of rotation of the space station. The ???????????? plane is thus perpendicular to the axis of rotation, with the ?????? direction pointing straight towards the center of rotation of the station. Alisa Bobu inandırmaq üçün sonuncu cəhdini edir. O yaylı rəqqasdan istifadə edək kariolis qüvvəsini təsirini göstərmək istəyir. O təcrübənin sxemini belə edir. Yayı həlqədən asır. Həlqəni isə səthə oxa çubuqğa keçirir. Həlqə keçirildiyi üfüqi ox boyunca sürtünməsiz sərbəst hərəkət edə bilir. Yay keçirilən oxun istiqamətini x, rəqslərin istiqamətini y istiqaməti kimi götürün. Çubuq səthə paralel və Kosmik gəminin fırlanma oxuna perpendikulyardır. Beləliklə xy müstəvisi fırlanma oxuna perpendikulyardır və y oxu kosmik stansiyanın fırlanma mərkəzinə yönəlib. y = 0
d Figure 5: Setup. Theory Azerbaijan (Azerbaijan) Q1-8 B.8 Alice pulls the mass a distance ?????? downwards from the equilibrium point ?????? = 0, ?????? = 0 , and then lets it go (see figure 5). Alisa asılı yükü tarazlıq vəziyyətindən (x=0, y=0) d qədər aşağı çəkir və bu- raxır. (Şəkil 5) • Give an algebraic expression of ??????(??????) and ??????(??????). You may assume that ?????? ???????????? ??????
is small, and neglect the Coriolis force for motion along the ??????-axis. Yükün ??????(??????) və ??????(??????) koordinatlarının zamandan asılıqlarının cəbri ifadələrini əldə edin. ?????? ???????????? ??????
• Sketch the trajectory (??????(??????), ??????(??????)), marking all important features such as amplitude. (??????(??????), ??????(??????)) -nin trayektoriyalarının şəklini çəkin. Vacib parametrləri: amplitudu v.s xüsusi qeyd edərək göstərin. 1.7pt
Alice and Bob continue to argue. Alisa və Bob mübahisə etməyə davam edirlər Yüklə 75,35 Kb. Dostları ilə paylaş:
|