Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten?

Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten?

• Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten?

• Abstrakte Automaten
• Endliche abstrakte Automaten
• Beispiele
• T ypen endlicher Automaten
• Akzeptoren, Transduktoren
• deterministisch, nicht-deterministisch, stochastisch

• Definitionen

• Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen
• Endliche abstrakte Automaten

• Einordnung endlicher Automaten

• Automatentheorie: Art des Speichers
• Theorie formaler Sprachen: Strukturelle Komplexität

ein abstrakter Automat ist ein mathematisches Modell für einfache Maschinen/Programme, die bestimmte Probleme lösen

• ein abstrakter Automat ist ein mathematisches Modell für einfache Maschinen/Programme, die bestimmte Probleme lösen

• beschreibt nicht einen bestimmten Automaten, sondern gemeinsame Grundprinzipien einer Klasse von Automaten

• Grundlegende Komponenten

• Zustände
• Eingabesymbole
• Zustandsübergänge: reagiert auf Eingaben durch Übergang in einen anderen Zustand

Ein abstrakter Automat ist ein „endlicher Automat“, wenn die Anzahl der Zustände, der Eingaben u. der Ausgaben endlich ist

• Ein abstrakter Automat ist ein „endlicher Automat“, wenn die Anzahl der Zustände, der Eingaben u. der Ausgaben endlich ist

• Komponenten der Modelle

• endliche Menge von Zuständen (Q)
• interne Konfigurationen, in denen sich ein System befinden kann
• zeitliche Ordnung (δ)
• definiert die möglichen Sequenzen von Zuständen
• endliche Menge von Eingaben (Σ)
• endliche Menge von Ausgaben (Reaktionen) (Δ)

• System zeigt abhängig vom aktuellen Zustand eine bestimmte Reaktion und geht in einen Folgezustand über

Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten?

• Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten?

• Abstrakte Automaten
• Endliche abstrakte Automaten
• Beispiele
• T ypen endlicher Automaten
• Akzeptoren, Transduktoren
• deterministisch, nicht-deterministisch, stochastisch

• Definitionen

• Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen
• Endliche abstrakte Automaten

• Einordnung endlicher Automaten

• Automatentheorie: Art des Speichers
• Theorie formaler Sprachen: Strukturelle Komplexität

David A. Huffman (1954), George H. Mealy (1955) und Edward F. Moore (1956)

• David A. Huffman (1954), George H. Mealy (1955) und Edward F. Moore (1956)

• untersuchten Schaltkreise
• beschrieben voneinander unabhängig den konventionellen deterministischen Automaten in ähnlichen Varianten

• Huffman entwickelte den Begriff des abstrakten Automaten

• Mealy und Moore führten abstrakte Automaten als mathematische Strukturen ein.

Eine Struktur  ist eine Zusammenfassung einer Menge und ausgewählter interessanter Eigenschaften dieser Menge

• Eine Struktur  ist eine Zusammenfassung einer Menge und ausgewählter interessanter Eigenschaften dieser Menge

• Relationen, Funktionen und/oder
• ausgezeichnete Elemente

• die Eigenschaften definieren eine Struktur auf der Menge

• Darstellung als Tupel  = (Menge, Relation1, …, Relationo, ausgezeichnetes Element1, .., Ep)

• Beispiel (ℕ, +,×, 0,1)

• Name dieser Beispielstruktur in der abstrakten Algebra: Semiring
• Semiringe spielen in der Theorie endlicher Automaten eine grundlegende Rolle

determinierter abstrakter Automat (Starke 1969: 22)

• determinierter abstrakter Automat (Starke 1969: 22)

• A = (X, Y, Z, γ) heißt determinierter abstrakter Automat, falls

• X, Y, Z beliebige nichtleere Mengen sind, und
• γ eine auf Z  X definierte Funktion ist, deren Werte in Y  Z liegen. ■

• Interpretation

• X Menge der Eingabesymbole

• Y Menge der Ausgabesymbole

• Z Menge der Zustände

determinierter Mealy-Automat (Starke 1969: 22)

• determinierter Mealy-Automat (Starke 1969: 22)

• Ein determinierter Automat A = (X, Y, Z, γ) heißt determinierter Mealy-Automat, falls für alle x X, zZ, γ(z,x) = [λ(z,x),δ(z,x)] ist, wobei λ die Ergebnis und δ die Überführungsfunktion von A ist. ■

• Interpretation

• X Menge der Eingabesymbole

• Y Menge der Ausgabesymbole

• Z Menge der Zustände

nichtdeterministischer Automat (Starke 1969: 121)

• nichtdeterministischer Automat (Starke 1969: 121)

• B = (X, Y, Z, h) heißt nicht-deterministischer Automat, falls

• X, Y, Z nichtleere Mengen sind, und
• h eine eindeutige Abbildung von Z  X in *(Z  Y) ist. ■ (Starke 1969: 121)

• stochastischer Automat (Starke 1969: 211)

• C = (X, Y, Z, H) heißt stochastischer Automat, wenn

• X, Y, Z beliebige nichtleere Mengen sind, und
• H eine auf Z  X definierte Funktion ist, die diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße über Y  Z als Werte H(z,x) hat ■

endlicher determinierter Automat (Starke 1969: 25)

• endlicher determinierter Automat (Starke 1969: 25)

• Ein determinierter Automat A = [X,Y,Z,δ,λ] heißt X-endlich, Y-endlich bzw. Z-endlich bzw. (X,Y)-endlich usw., wenn die jeweils angegebenen Mengen endlich sind. (X,Y,Z)-endliche Automaten bezeichnen wir schlechthin als endlich ■

• (X,Y,Z)-endliche nichtdeterministische Automaten …endlich.

• (X,Y,Z)-endliche stochastische Automaten … endlich.

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• Beispiele
• T ypen endlicher Automaten
• Akzeptoren, Transduktoren
• deterministisch, nicht-deterministisch, stochastisch

• Definitionen

• Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen
• Endliche abstrakte Automaten

• Einordnung endlicher Automaten

• Automatentheorie: Art des Speichers
• Theorie formaler Sprachen: Strukturelle Komplexität

klassifiziert Algorithmen nach der Art des Speichers, der für die Implementierung zum Merken von Zwischergebnissen gebraucht wird

• klassifiziert Algorithmen nach der Art des Speichers, der für die Implementierung zum Merken von Zwischergebnissen gebraucht wird

Mengen der Zustände, der Eingabesignale, der Ausgabesignale sind endlich

• Mengen der Zustände, der Eingabesignale, der Ausgabesignale sind endlich

• kein Gedächtnis zur Speicherung durchlaufener Zustände:

• Übergang von Zustand zur Zeit t in Zustand zur Zeit t+1 nur abhängig von
• Zustand zur Zeit t und
• Eingabe im Zustand zur Zeit t
• Vorhergehende Zustände nur dadurch wirksam, dass
• sie über eine bestimmte Eingabe in den aktuellen Zustand geführt haben, und
• dieser aktuelle Zustand ein bestimmtes Ergebnis repräsentiert.

Sprachklassen nach struktureller Komplexität (Chomsky-Hierarchie)

• Sprachklassen nach struktureller Komplexität (Chomsky-Hierarchie)

Hopcroft, John E. Rajeev Motwani und Jeffrey D. Ullman (2001). Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexität. Pearson Studium engl. Original: Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison-Wesley.

• Hopcroft, John E. Rajeev Motwani und Jeffrey D. Ullman (2001). Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexität. Pearson Studium engl. Original: Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. Addison-Wesley.

• Hopcroft, John E. und Jeffrey D. Ullman (1988). Einführung in die Automatentheorie, formale Sprachen und Komplexitätstheorie. Bonn u. a.: Addison-Wesley, 1988 (engl. Original Introduction to automata theory, languages and computation). [Anm.: Diese Fassung enthält die Beweise]

• Huffman, D. A. (1954). The synthesis of sequential switching circuits. J. Franklin Inst. 257: 3-4, S. 161-190 und 275-303

• Lawson, Mark V. (2005). Finite automata. In: Hritsu-Varsakelis, D. und W.S.Levine (Hg).: Handbook of networked and embedded Control Systems.

• Lawson, Mark V. (2004). Finite Automata. In: D. Hristu-Varsakelis and W. S. Levine (eds.): Handbook of networked and embedded control systems

• Mealy, George H. (1955). A method for synthesizing sequential circuits. Bell System Technical Journal 34:5, 1045-1079
• Moore, Edward F. (1956). Gedanken experiments on sequential machines. In: Automata Studies, S. 129-153, Princeton: Princeton University Press

• Starke, Peter H. (1969). Abstrakte Automaten. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften: Berlin (ältere, aber sehr gute mathematische Darstellung)

© 2009 Karin Haenelt. All rights reserved. The German Urheberrecht shall be applied to these slides. In accordance with these laws these slides are a publication which may be quoted and used for non-commercial purposes, if the bibliographic data is included as described below.

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• Bibliographic data. Karin Haenelt (2010). Endliche Automaten. Einführung in den Themenbereich. Kursfolien 18.4.2010 http://kontext.fraunhofer.de/haenelt/kurs/folien/Haenelt_FSA-IntroV4.pdf

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• Court of Jurisdiction is Darmstadt.

v 4.1- 18.04.2010, v 4.0 – 30.03.2009

• v 4.1- 18.04.2010, v 4.0 – 30.03.2009

• V03.01 – 16.04.2008

• V03.00 – 12.04.2008

• V02.03 - 14.04.2007

• V02.02 - 11.04.2007

• V02.01 - 15.04.2006