Herleitung der Wellengleichung nach Laplace (Meyl 4)

Herleitung der Wellengleichung nach Laplace (Meyl 4.4)

Bevor wir die Laplacesche Wellengleichung nach Meyl herleiten, unterziehen wir die Beziehungen, die Meyl dafür verwendet, einer kritischen Betrachtung. Nach (3.10) ist die Potentialdichte definiert als

und mit der von Meyl eingeführten vereinfachten Definition

mit der Relaxationszeit der Potentialwirbel ergibt sich aus (*):

Da ein Skalar ist, ist der Induktionsvektor B nach diesem Ansatz parallel zur Geschwindigkeit v. Andererseits gilt für die elektrische Stromdichte die Beziehung

d.h. die Stromdichte ist ebenfalls parallel zur Geschwindigkeit v. Weiterhin wird bei Meyl das Ohmsche Gesetz

verwendet, die Stromdichte ist proportional zum elektrischen Feld. Damit ergibt sich die Parallelität der Vektoren

d.h. das magnetische Feld ist parallel zum elektrischen. Dies ist im allgemeinen nicht der Fall, in den meisten Materialien (wie auch bei elektromagnetischen Wellen) stehen beide Felder senkrecht aufeinander. Daher ist der Ansatz (**) nicht widerspruchsfrei. Stattdessen sollte man von der Äquivalenz der Strom- und Potentialdichegleichungen ausgehen und diese mit verschiedenen Geschwindigkeiten schreiben:

wobei die Geschwindigkeit der elektrischen Ladungsträger und diejenige der Potentialwirbel ist. Beide müssen unterschiedliche Richtungen haben. Man kann es sich vielleicht so vorstellen, dass die Potentialwirbel sich entlang der magnetischen Feldlinien bewegen. Beim Magnetfeld eines Leiters verläuft das Magnetfeld ringförmig um den Stromvektor herum, d.h. j und B stehen senkrecht aufeinander. Dann stehen auch und senkrecht aufeinander, und der Widerspruch ist aufgehoben.

Wir kommen nun zur eigentlichen Herleitung der Wellengleichung. Das Ergebnis von Meyl ist:

Da es, wie oben gezeigt, keine einheitliche Geschwindigkeit v der Strom- und Potentialdichte gibt, ist Meyls Herleitung zu modifizieren. Da sie obendrein sehr knapp ausgefallen ist, bedarf sie weiterer Zwischenschritte.

Ausgangspunkt ist Meyls Gleichung (3.6) (jetzt mit geschrieben)

sowie obiges

mit geschrieben. Gleichung (***) lautet in Komponentenschreibweise

Mit

ergibt sich für die erste Komponente von (****)

Die rechte Seite aller drei Komponenten dieser Gleichung kann nicht in geschlossener Vektorform geschrieben werden. Mit Einführung der Diagonalmatrix

kann diese Gleichung mit einer Matrix-Vektor-Multiplikation geschrieben werden in der Form

(beachte, dass eine vektorielle Größe darstellt).

Mit dieser Gleichung gehen wir in die Wellengleichung (4.7) ein, die aus den Feldgleichungen hergeleitet wurde:

Unter Vernachlässigung der Terme mit der Relaxationszeit der Wirbelströme vereinfacht sich diese Gleichung zu

Für den letzten Term setzen wir (*5) ein, wobei sich herauskürzt:

oder

Dies entspricht Meyls Gleichung (*6), enthält aber das Produkt der Geschwindigkeitskomponenten von und in wesentlich komplexerer Form. Wenn man nun wie Meyl die Vereinfachung

macht, d.h. hat nur eine x-Komponente, bedeutet dies, da meistens senkrecht darauf steht, dass die Form hat

d.h. alle Elemente der Matrix sind null. Damit vereinfacht sich (7*) zu

was wiederum mit der bekannten Vektoridentität geschrieben werden kann als

Wenn die Divergenz von B verschwindet, d.h. im Falle dass keine Potentialdichte vorhanden ist, ist dies wieder die „normale“ Laplacesche Wellengleichung. Wenn aber eine Potentialdichte vorhanden ist, breiten sich Potentialdichte- oder Skalarwellen mit der Lichtgeschwindigkeit c aus. Die Aussage Meyls, dass für Skalarwellen beliebige Geschwindigkeiten möglich sind, kann über diese Gleichung also nicht bestätigt werden.