Harakat va uning xossalari

Harakat va uning xossalari
Rejasi
1. Tekislikda harakat va uning xossalari
2. Harakatning sodda turlari
3. Harakatning analitik ifodasi

1. Maktab geometriya kursida eng sodda almashtirishlar bilan tanishish ko’zda tutiladi, ular: parallel ko’chirish, simmetriya burish va o’xshash almashtirishlardan iborat.

Parallel ko’chirish, simmetriya va burish barchasi adabiyotlarda bitta «harakat», yoki «siljitish» yoki «izometriya» deb aytiladi.
1-ta’rif. Tekislikning ixtiyoriy ikki nuqtasi orasidagi masofani o’zgartirmaydigan almashtirish «harakat» yoki «izometriya» deyiladi.
Harakatni L orqali belgilaymiz. Tekislikning har kanday ikki M,N nuqtasi uchun
(M,N) = (L(M), L(N)) (M¹ = L(M) N¹ = L(N))
Harakat hossalarini ko’rib chiqaylik.
1°. Harakat kesmani o’ziga teng kesmaga o’tkazadi.
2°. Harakat bir to’g’ri chiziqda yotuvchi nuqtani, yana bir to’g’ri chiziqda yotuvchi nuqtaga o’tkazadi.
3°. Harakat to’g’ri chiziqni, to’g’ri chiziqqa o’tkazadi.
4°. Harakat nurni nurga o’tkazadi.
5°. Harakatda burchak kattaligani o’zgartirmaydi.
6°. Harakat, parallel to’g’ri chiziqlarni ya’ni parallel to’g’ri chiziqlarga o’tkazadi.
7°. Harakat ko’pburchakni yana ko’pburchakka o’tkazadi (bunda mos burchaklarning kattaligi, tomonlarining uzunliklari o’zgarmaydi)
8°. Harakat aylanani yana aylanaga o’tkazadi, bunda aylana radiuslari o’zgarmaydi.
9°. Tekislikdagi harakatlar to’plami gruppa tashkil qiladi
Isboti: 1° xossani isbotlaylik. Tekislikda ikkita A va B nuqtalarni olaylik. Harakat L(A)=A', L(B)=B' o’tkazsin.
Agar cÎAB bo’lsa, u holda (57-chizma)

P(AC)+P(CB)=P(AB) (12.1)
Harakat ta’rifiga asosan
P(A'C') + P(C'B') = P(A'B') (12.2)
bu esa C'ÎA'B' ko’rsatadi.
Aksincha, agar qandaydir C¹ nuqta C¹ÎA¹B¹ bo’lsa, u holda (12.2) tenglik o’rinli bo’ladi, bundan (12.1) tenglikning o’rinligini, undan esa CÎAB bo’ladi.
2° isbotini ko’rib chiqaylik. A, B, C bir to’g’ri chiziq nuqtalari bo’lsin, harakatda ularga A¹, B¹, C¹ nuqtalar mos kelsin. Aniqlik uchun C nuqta A va B nuqtalar orasida yotsin deylik. U holda 1° xossaga asosan C'ÎA¹B¹ da yotadi. Demak, A¹, B¹, C¹ nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotadi.
Nuqtalarning bir to’g’ri chiziqda yotish xossasini kolleniarlik munosabati deyiladi. Kollinearlik munosabatini saqlovchi almashtirish kollineatsiya deyiladi. Demak, tekislikdagi harakat kollineatsiyadan iborat bo’ladi.
3° Tekislikda L-harakat va ijtiyoriy d to’g’ri chiziq berigan bo’lsin. d to’g’ri chiziqda yotuvchi ikkita A va B nuqtalarni olamiz. Harakat L(A)=A', L(B)=B'. A¹ va B¹ nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni d¹ bilan belgilaymiz (58-chizma).
Agar M nuqta d to’g’ri chiziqqa qarashli ixtiyoriy nuqta bo’lsa, u holda 1° xossaga ko’ra L(M)=M¹Îd¹.
4°-9° larni talabalar mustaqil ish sifatida o’rganiladi.
2-ta’rif. Agar ikki figuradan birini ikkinchisiga o’tkazadigan harakat mavjud bo’lsa, bu figuralar kongruent deyiladi. Bu konguret figuralar tekislikdagi vaziyatlari bilan farq qiladi xolos.
Teorema. Tekislikdagi L harakat P to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini, P' to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasiga o’tkazilsa, M'=L(M) nuqtaning P' koordinatalar sistemasidagi koordinatalari M nuqtaning P to’g’ri burchakli koordinatalar bilan bir xil bo’ladi (59-chizma).
Isbot. P(0,i,j) tekislikdagi to’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasi. L(o) = o', L(A₁)=A₁¹, L(A₂)=A₂' o’tkaziladi. Yuqoridagi xossalarga asosan O¹₁, A¹₁ va A¹₂ nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotmaydi va LA¹₂O¹A¹₁=90⁰. Demak P' dekart koordinatalar sistemasi.

Tekislikda ixtiyoriy M nuqtasini R ga nisbatan koordinatalari x,y bo’lsin.


M' nuqtaning P' nisbatan koordinatalar uchun x',y' bo’lsin


(M,A,O) = (M¹₁ A¹₁ O¹), (M₂A₂O) = (M'₂ A'₂ O') tekisliklardan x=x', y = y'.
2. Harakatning eng sodda turlarini ko’rib chiqaylik,
a) To’g’ri chiziqqa nisbatan simmetriya (S_d)
Tekislikda d to’g’ri chiziq berilgan bo’lsin.
3-ta’rif. Tekislikdagi A, A¹ nuqtalar uchun AA¹ kesma d ga perpendikulyar bo’lib, AA¹ kesmaning o’rtasi d to’g’ri chizig’ida yotsa, u holda bu nuqtalar d to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik deb ataladi va S_d ko’rinishda yoziladi.

d to’g’ri chiziqni simmetriya o’qi deyiladi. Agar biror nuqta NÎd bo’lsa, u holda N=N' (60-chizma) ya’ni d to’g’ri chiziqning har bir nuqtasi simmetrik almashtirishda o’z-o’ziga o’tadigan qo’sh nuqtadan iborat bo’ladi.
Tekislikda bulardan tashqari bunday xossaga ega bo’lgan nuqta mavjud emas.
To’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik almashtirish quyidagi xossalarga ega: 1° simmetrik almashtirish to’g’ri chiziqni to’g’ri chiziqqa o’tkazadi. 2° ikki nuqta orasidagi masofani saqlaydi.
Koordinatalar metodidan foydalanib isbotlaymiz.
To’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasining Ox o’qini simmetriya o’qi deb olsak, A(x,y) nuqtaning aksi A'(x',y') bo’ladi (61-chizma). Bunda
x'= x,
y'=-y. (12.1)
(12.1) Ox o’qiga nisbatan simmetrik almashtirish formulasi.

Simmetrik almashtirish xossalarini ko’raylik.
1°. Simmetrik almashtirish to’g’ri chiziqni to’g’ri chiziqqa o’tkazadi. Agar d to’g’ri chiziq tenglamasini Ax+By+C=0 berilsa, uning d¹ aksini (12.2) almashtirishdan foydalanib topamiz,
Ax¹-By¹+C=0
2°. Ikki nuqta orasidagi masofa o’zgarmaydi. Tekislikning ixtiyoriy ikkita A(x₁,y₁) va B(x,y) nuqtalar esa ularning aksi bo’lsin. (12.1) formulani e’tiborga olib, hisoblaymiz

=
(12.1) almashtirishda ikki nuqta orasidagi masofa o’zgarmaydi.
Demak simmetrik almashtirish harakatdir.
4-ta’rif. Agar biror F figura d to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik almashtirishda o’z-o’ziga o’tsa, u holda d to’g’ri chiziq bu figuraning simmetriya o’qi deyiladi.
b) Parallel ko’chirish (T ). Tekislikda ¹0 vektor berilgan.
5-ta’rif. Tekislikning har bir A nuqtasiga
AA' = (12.2)
shartni qanoatlantiruvchi A¹ nuqtani mos keltirishga tekislikdagi vektor qadar parallel ko’chirish deyiladi. Uni T ko’rinishda belgilanadi. vektorni ko’chirish vektori deyiladi.

Ta’rifga ko’ra, T parallel ko’chirish tekislikning barcha nuqtalarini vektor yo’nalishida | | masofaga siljitadi.
Parallel ko’chirish quyidagi xossalarga ega:
1⁰. Parallel ko’chirish, to’g’ri chiziqni unga parallel to’g’ri chiziqqa o’tkaziladi.
2⁰. Parallel ko’chirishda ikki nuqta orasidagi masofaga o’zgarmaydi.
Isbot: 1⁰. Xossani isbotlaylik.
Agar A¹(x¹₁;y¹₁) nuqta A(x;y) nuqtaning aksi bo’lsa, u holda ta’rifga ko’ra AA' = (12.3)
Bunda (x₀,y₀) va AA'(x'-x,y'-y) koordinatalarga ega. (12.2) dan:
x-x = x₀, x'=x+x₀,
y'-y = y₀, ya’ni y'=y-y₀ (12.4.)
Parallel ko’chirish formulasiga ega bo’lamiz.
1⁰. Tekislikda d to’g’ri chiziq Ax + By+C = 0 tenglama bilan berilgan bo’lsin. (12.4) formuladan foydalanib d to’g’ri chiziqni vektor qadar parallel ko’chiramiz. Ya’ni x = x₁-x₀, y=y₁-y₀ qiymatlarni d to’g’ri chiziq tenglamasiga qo’yib:
d¹: Ax¹+By¹+(C-Ax₀-By₀)=0 (12.5)
birinchi darajali tenglamaga ega bo’ldik, bu (12.5) tenglama to’g’ri chiziq tenglamasi, d₁ || d₂
Demak T (d) = d¹ to’g’ri chiziq.
2°. Ikkita ixtiyoriy A(x₁;x₂) va B(x₂;y₂) nuqtalarning obrazlari A¹(x¹₁,y¹₁) va B¹(x¹₂,y¹₂) bo’lsin, u holda
x¹₁=x₁+x₀, x¹₂=x₂+x₀;
y¹₁=y₁+y₀, y¹₂=y₂+y₀ (12.6)
Ikkita A¹ va B¹ nuqtalar orasidagi masofani (12.6) formulani
e’tiborga olib hisoblasak,

Demak parallel ko’chirish harakat.
v) Burish (P^a)
Tekislikda yo’nalishga ega bo’lgan a burchak berilgan bo’lsin.
6-ta’rif. Tekislikning har bir A nuqtasiga ushbu
1. (0,A)= (O,A¹);
2. 1=(62-chizma) shartlarni qanoatlantiruvchi A¹ nuqtani mos keltiruvchi almashtirishga O nuqta atrofida berilgan a burchakka burish deyiladi.
O nuqta burish markazi, a burish burchagi deyiladi.
Tekislikdagi O nuqta atrofidagi a burchakka burish R^a₀ bilan belgilanadi.
P^a₀ burish quyidagi xossalarga ega:
1°. Burish to’g’ri chiziqni to’g’ri chiziqqa o’tkazadi.
2°. Ikki nuqta orasidagi masofa o’zgarmaydi.
Bu xossalarni koordinatalar metodi bilan isbotlash mumkin.
Burish ham harakat bo’ladi.
g) Markaziy simmetriya (S₀)
7-ta’rif. Tekislikdagi biror O nuqta atrofida a=180° ga burish O nuqtaga nisbatan simmetriya yoki markaziy simmetriya deyiladi va S₀ bilan belgilanadi (63-chizma). O nuqta simmetriya markazi deyiladi.
Markaziy simmetrik almashtirishda simmetriya markazi O nuqta A nuqta va uning aksi A¹ nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotadi va OAºOA¹.

Markaziy simmetrik almashtirishning harakat ekanligini isbotlash qiyin emas.
8-ta’rif. Agar birorta figura O nuqtaga nisbatan simmetrik almashtirishda o’z-o’ziga o’tsa, u holda O nuqta figuraning simmetriya markazi deyiladi.
d) Sirpanuvchi simmetriya.
Tekislikda S_d simmetriya Tp (p¹0 p||d) parallel ko’chirish berilgan.
9-ta’rif. F=T_pS_d almashtirish kompozitsiyasi sirpanuvchi simmetriya
deyiladi (64-chizma).
Agar S_d(A)=A' va T_p(A')=A" o’tkazsa p(x₀,0) ko’chiruvchi vektor u holda
f(A)=A'' o’tkazadi.

Agar Tp(A)=A'₁ va S(A'₁)=A'' o’tkazsa f(A)=A'' ga o’tkazadi (64-chizma).
Demak TpS_d=S_dT_P simmetriya kommutativlik xossasiga ega.
Sirpanuvchi simmetriya, agar A(x,y), A¹(x¹,y¹) A¹¹(x¹¹,y¹¹) koordinatalarga ega, d = Ox bo’lsa:

bundan f: (12.6)
Sirpanuvchi simmetriya formulasi. Yuqoridagi ko’rilgan xossalar ham sirpanuvchi simmetriya uchun o’rnili bo’lishini ko’rsatish qiyin emas.
(12.6) formuladan e=-1 ekanligi ma’lum. Demak, sirpanuvchi simmetriya ikkinchi tur harakat.

3. H a r a k a t n i n g a n a l i t i k i f o d a s i

To’g’ri burchakli dekard koordinatalar sistemasini almashtirish formulasi (6.9) dan foydalanamiz.
Teorema. Tekislikdagi ixtiyoriy nuqta va uning aksini koordinatalri
x=x¹cosa-ey¹sina+x₀,
y=x¹sina+ey¹cosa+y₀ (12.7)
formula bilan bog’langan bo’lsa, u holda bu formula tekislikdagi harakatni aniqlaydi.
Isboti. 1. Tekislikning ixtiyoriy A nuqtasini (12.7) formula yordamida A¹ nuqtaga o’tkazuvchi f almashtirish bir qiymatli.
Haqiqatan ham, (12.7) formulada determinant

agar x,y larni berilgan deb olsak, (12.7) tenglamalar sistemasini x,y larga nisbatan bir qiymatli echimga ega. Shu bilan har bir A¹(x¹,y¹) nuqta bitta faqat bitta acl M(x,y) nuqtaga ega bo’ladi.
Demak (12.7) formula tekislikdagi birorta f bir qiymatli almashtirishni aniqlaydi.
2. Tekislikdagi A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) nuqtalar ularning aksi A₁(x¹₁,y¹₁) va B₁(x¹₂,y¹₂) bo’lsin. (12.7) almashtirishga ko’ra ushbu koordinatalarga ega bo’ladi:
x¹₁=x₁cosa-ey₁sina+x₀,
y¹₁=x₁sina+ey₁cosa+y₀
x¹₁=x₂cosa-ey₂sina+x₀,
y¹₁=x₂sina+ey₂cosa+y₀
u holda


, bunda e=+1
(12.7) almashtirish ta’rifga ko’ra harakat bo’ladi.
Shunday qilib tekislikdagi harakat (12.7) formula bilan aniqlanadi va uni harakatning analitik ifodasi deyiladi.
Tekshirish uchun savollar va mashqlar.
1. Harakat ta’rifini ayting, misollar keltiring.
2. Harakat xossalarini ayting.
3. Kolleniarlik munosabatini tushuntirib bering.
4. O’q simmetriyasini ta’riflang va misollar keltiring.
5. Parallel ko’chirishni ta’riflang, misollar keltiring.
6. Burishni ta’riflab misollar keltiring.
7. Markaziy simmetriya deb nimaga aytiladi?
8. Sirpanuvchi simmetriya deb nimaga aytiladi?
9. Simmetriya, parallel ko’chirish, burish, markaziy simmetriya va sirpanuvchi simmetriyalarning harakat ekanligani isbotlang.
10.Quyidagi hollar uchun (0,e₁,e₂) affin reperidan (O,e₁e₂) reperga o’tish formulasini yozing (affin koordinatalar sistemasi - reper)
a) e₁(2,1); e¹₂(-2,1) b) e¹(1,1), e¹₂(0,1)
Javob: a) x=2x¹-2y¹, b) x = x'
Y=x¹+y¹; y = x'+y
11. (O, e₁ e₂) affin koordinatalar sistemasiga nisbatan A(2,1) va B(- ;2) berilgan. Koordinatalar boshi O'(0;1) nuqtada bo’lgan shunday (O¹, e¹₁ e¹₂) koordinatalar sisitemasini topingki A(1,0) va B(0,1) bo’lsin.
Javob: e₁(2,0), e₂(- ;2)
12. Quyidagi burchaklar berilgan burish formulasini yozing. a) 60⁰, b) 45⁰, v) 90°
13. Quyidagilarga berilganlarga asosan affin almashtirish formulasini yozing.
a) e¹₁(4,3), e¹₂(0,5), O'(3,-1);
b) e¹₁(1,0), e¹₂(0,1), O'(2,5).
14. Quyida berilgan har bir hol uchun dekart koordinatalar sistemasini almashtirish formulasini yozing.
a) koordinata sistemalarning yo’nalishlari bir xil.
b) <(i'i) = 30⁰, 0¹(0,-2); (0,i,j) va (0¹, i¹, j¹) koordinata sistemalar turli yo’nalishda
v) koordinatalar sistemasining yo’nalishi har xil
Javob:
a) b)
v)

Adabiyot: [1] 33, 34, 35-§, [2] 41, 42-§