Halqalarning gomomorfizmlari va izomorfizmlari

---

ÿ1
60
ÿ1
ÿ1
Halqalarning gomomorfizmlari va izomorfizmlari
+ [0] [0]
[0] [1]
[1]
Boshqa tomondan, Z2 = {[0], [1]} - bu faqat ikkita elementdan tashkil topgan identifikatsiyaga ega bo'lgan boshqa kommutativ halqa.
(i) f(r + r ) = f(r) + f(r ) , ÿ r, r ÿ R ; (ii) f(rr ) = f(r)f(r ) ÿ r, r
ÿ R .
U holda z1 = x1 + iy1 va z2 = x2 + iy2 bo'lsa,
16-MA'RUZA
× [0] [0]
[0] [1] [0]
Endi halqalarning bir qancha xilma-xil misollarini ko'rganingizdan so'ng, ikkita turli xil to'plamlar qanday qilib bir xil halqa tuzilishi
bilan ta'minlanganligini ko'rish maqsadga muvofiqdir.
bobo
Ta'rif 16.1. Ikki halqa orasidagi f : R ÿ S xaritasi gomomorfizm deyiladi, agar:
Eslatib o'tamiz, R to'plamidan S to'plamga f xaritasi in'ektsion bo'lsa
× ab
[1]
[1]
[0]
(f(x)) ÿ x ÿ R .
s(z1 + z2) = s (x1 + x2 + i(y1 + y2)) = x1 + x2 ÿ
i(y1 + y2) = x1 ÿ iy1 + x2 ÿ
iy2 = s(z1) + s(z2)
Quyidagi qo‘shish va ko‘paytirish jadvallari bilan ikkita a, b elementdan iborat R to‘plamini ko‘rib chiqaylik
[1]
[0]
[1]
1-misol. s : C ÿ C xaritasini ko'rib chiqaylik, bu erda s(x + iy) = x - iy (ya'ni, s C da kompleks konjugatsiya).
Agar Z2 uchun qo'shish va ko'paytirish jadvallarini yozsak
: S ÿ R shundayki
,
Agar 0R = a va 1R = b bo'lsa, R ning o'ziga xosligi bo'lgan kommutativ halqa tuzilishiga ega ekanligini tekshirish oson .
f(r) = f(r ) ÿ r = r . f : R ÿ S,
agar S dagi har bir element R dagi ba'zi r uchun s = f(r) ko'rinishida ifodalanishi mumkin bo'lsa, o'rinli bo'ladi.
Nihoyat, f : R ÿ S, agar f ham in'ektiv, ham to'ldiruvchi bo'lsa. Nihoyat, eslaymizki, agar f biektiv bo'lsa, u holda f
ff
aaa
a ÿ [0], b ÿ [1] mosliklarini tan olganimizdan so'ng Z2 ning R tuzilishi bilan bir xil tuzilishga ega ekanligini
ko'ramiz . Bunday holda, agar R va S ikkita to'plam deyarli bir xil halqa tuzilishiga ega bo'lsa, biz R va S izomorf
ekanligini aytishimiz kerak. Quyida biz ushbu tushunchani biroz aniqroq rasmiylashtiramiz.
(x) = x = f
teskarisiga ega; ya'ni, f (noyob) funksiya mavjud
f izomorfizm deyiladi, agar u ham biektiv bo'lsa.
(16.1)
+ ababbba
Machine Translated by Google

---

(i) f gomomorfizm va R da 0R + 0R = 0R bo'lgani uchun,
f(r) + f(ÿr) = f (r + (ÿr)) = f(0R)
(iv) Faraz qilaylik, a ko‘paytmali teskari a bilan R dagi birlik bo‘lsin
.
16.2 teorema. f : R ÿ S halqalarning omomorfizmi bo‘lsin. Keyin
Bundan tashqari, agar R va S identifikatsiyaga ega bo'lsa va f sur'ektiv gomomorfizm bo'lsa, u holda
s(z1z2) = s (x1x2 ÿ y1y2 + i(x1y2 + y1x2)) = x1x2 ÿ
y1y2 ÿ i(x1y2 + y1x2) = (x1 ÿ iy1)(x2
ÿ iy2) = s(z2) s(z2)
.
(iii) f sur'ektiv bo'lgani uchun, ba'zi r ÿ R uchun 1S = f(r).
va shuning uchun f (a) ko'paytma teskari fa bilan S dagi birlikdir
= 0S tomonidan (i)
s, s ÿ tasvir (f) ÿ ÿ r, r ÿ R st s = f (r) , s = f (r ) ÿ s + s = f (r) + f (r ) = f (r + r ) ÿ
rasm (f)
Shunday qilib, s halqalarning gomomorfizmidir. beri
(iii) f(1R) = 1S. (iv)
Agar a ÿ R R ning birligi bo'lsa, f (a) S ning birligi va f (a)
(ii)
S ning pastki qismidir.
f(0R) + f(0R) = f(0R + 0R) = f(0R) .
(i) f(0R) = 0S. (ii)
har bir r ÿ R uchun f(ÿr) = ÿf(r).
Xulosa 16.3. f : R ÿ S halqali gomomorfizm bo‘lsin. Keyin S dagi f ning tasviri
mavjud va shuning uchun s bijeksiyadir. Shunday qilib, s halqa izomorfizmidir.
Isbot.
f(1R) = f(1R) · 1S = f(1R) · f(r) = f(1Rr) = f(r) ÿ 1S .
Isbot. F halqali gomomorfizm ekanligidan (f) tasvir qo‘shish va ko‘paytirishda yopilganligi kelib chiqadi:
= s ÿ s = Identifikatsiya xaritasi
= fa
Demak, f(-r) S dagi f(r) ga teskari qo‘shimcha; ya'ni, ÿf(r) = f(ÿr).
Bu tenglamaning ikkala tomoniga ÿf(0R) ÿ S qo‘shilganda f(0R) =
0S hosil bo‘ladi .
. Keyin (iii) f (a)
tomonidan
a = fa
tasvir (f) = {s ÿ S | s = f (r) ba'zi r ÿ R} uchun
(16.2)
ÿ1
ko‘rinib turibdiki, s
=1
ÿ1
ÿ1
ÿ1
ÿ1
61
16. HALUZALARNING GOMOMORFIZMLARI VA IZOMORFIZMALARI
2 s
1S = f (1R) = fa
ÿ1
Machine Translated by Google

---

Oldingi teoremaning (ii) qismidan baÿzi r ÿ R ÿ ÿs
= f (ÿr) ÿ tasvir (f) uchun s = f (r) ga ega boÿldik.
(f) tasvir qo'shish, ko'paytirish va qo'shimchalar teskarisini olishda yopilganligi sababli, biz 14.5 teoremaga
muvofiq, bu tasvir (f) S ning pastki halqasidir.
s, s ÿ tasvir (f) ÿ ÿ r, r ÿ R st s = f (r) , s = f (r ) ÿ s × s = f (r) × f (r ) = f (r
× r ) ÿ rasm (f)
16. HALUZALARNING GOMOMORFIZMLARI VA IZOMORFIZMALARI
62
Machine Translated by Google