Guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe ia mebonia

35

sadac  I igivuri funqciaa. misi ganazRvris area g funqciis gansazRvris are. f-is 

Seqceul funqcias ase aRvniSnavT: f

–1

.

• yvela funqcias aqvs Seqceuli? _ ara;

• aqvs Tu ara Seqceuli f(x)=x

2

, x∈(–∞; +∞) funqcias? _ ara, radgan nebismieri  

x∈(–∞; +∞) ricxvisTvis gvaqvs f(x)=f(–x).

• aqvs Tu ara Seqceuli f(x)=x

2

, x∈[0; +∞) funqcias? _ aqvs, f

–1

(x)= 

√

x .

yuradRebiT gaarCieT me-10 da me-11 magaliTebi _ es xels Seuwyobs Seqcevado-

bisa da Seqceulis cnebebis aTvisebas. 

Semdeg etapze vixilavT Seqceuli funqciis grafikis agebis sakiTxs. sasurvelia 

moswavleebma Tavad aRmoaCinon Sesabamisi kanonzomiereba _ maswavlebeli sworad 

dasmuli SekiTxvebiT exmareba maT:

• vTqvaT, x

0

∈

D(f) da y

0

=f(x

0

). ekuTvnis Tu ara (x

0

; y

0

)) wertili f funqciis grafiks?

• Tu f(x

0

)=y

0

, maSin sworia Tu ara, rom f

–1

(y

0

)=x

0

?

• ekuTvnis Tu ara (y

0

; x

0

) wertili f

–1

 funqciis grafiks?

• aris Tu ara (x

0

; y

0

) da (y

0

; x

0

) wertilebi y=x wrfis mimarT simetriulebi?

me-12 da me-13 magaliTebi masalis erTgvar SejamebaSi gvexmareba.

aqtivobis gafarToeba-gaRrmaveba:

aqtivobis gafarToeba-gaRrmavebis mizniT ganixileT paragrafis meore nawilSi 

SemoTavazebuli mravalricxovani amocanebi. 

#30-#34 amocanebi iteraciis kargi magaliTebia; isini SeiZleba gamoviyenoT 

maTematikis wrezec da gakveTilzec.

aqtivobis ganxilva-Sefaseba:

am Temis ganxilvis Sedegad moswavle iZens mniSvnelovan unar-Cvevebs, romelic 

gamoadgeba rogorc wminda Teoriul-maTematikuri, ise praqtikuli saqmianobidan 

an mecnierebis sxva dargebidan momdinare amocanebis gadawyveta-modelirebisas.

sanimuSo gakveTili #7

aqtivoba: sivrceSi dekartis koordinatebis ganxilva; sivrceSi veqtorisa da 

veqtorebze moqmedebebis koodinatebiT warmodgena ($ 5.2,  punqti  1).

reziume: moswavleebi ixseneben sivrceSi dekartis koordinatebis gansazRvras, 

koordinatTa sistemis orientacias, koordinatTa RerZebis mgezav ortebs _  i -s, 

j -sa da k-s; ecnobian  i -s,  j -sa da k-s wrfivi kombinaciiT nebismieri a=(x; y; z) veq-

toris warmodgenas: 

 

    a=x i +y j +zk

da am warmodgenis gamoyenebiT amtkiceben ramdenime mniSvnelovan debulebas.

aqtivobis mizani:

•  veqtoris sigrZisa da mimarTulebis, veqtorebze operaciebisa da maTi Tvise-

bebis geometriuli interpretirebis Cvevebis gamomuSaveba;

---

36

•  koordinatebis gamoyenebis codnis SeZena, magaliTad, veqtorebisa da veq-

torebze operaciebis, sivrcis wertilebs Soris manZilis, wrfeebs Soris kuTxis 

koordinatebiT gamosaxvisas;

•  geometriuli debulebebis dasamtkiceblad da figuraTa zomebis dasadgenad 

veqtorebis gamoyenebis unar-Cvevebis gamomuSaveba-ganmtkiceba;

•  figuraTa geometriul Tvisebebsa da Sesabamis algebrul gamosaxulebebs So-

ris logikuri kavSirebis damyarebisa da am kavSirebis gamoyenebis gamocdilebis 

miReba;

•  sivrcis aRqmis gaRrmaveba;

•  damoukideblad muSaobis unaris ganviTareba.

•  sivrcis ganzomilebaze pirveli warmodgenebis gamomuSaveba.

aucilebeli wina codna:

•  yvela saWiro cnebasa da debulebas, rasac viyenebT Teoriul nawilSi, moswav-

leebi maswavlebelTan erTad gzadagza erToblivad ixseneben.

aqtivobis mimdinareoba:

gakveTilis dasawyisSi vixsenebT sivrcul koordinatTa sistemas da mis or Ses-

aZlo orientacias _ marcxenasa da marjvenas:

 

 marcxena 

sistema 

   marjvena 

sistema

sasurvelia moswavleebs avuxsnaT am terminebis warmomavloba _ adamianis 

marcxena da marjvena mtevnebze ceri, saCvenebeli da Sua TiTebis ganlagebasa da 

Sesabamisi sistemebis RerZebis ganlagebas Soris msgavseba (gamoyeneT  s rubrikiT 

mocemuli masala):

Semdgom marjvena sameulebs ganvixilavT _ es SeTanxmebis Sedegia.

aRwerili wesiT SerCeuli koordinatTa sistemis mgezavi ortebia, Sesabamisad, 

i ,  j ,  k. amrigad, am veqtorebis koordinatebia

 

    i =(1;  0;  0),  j =(0;  1;  0),  k=(0;  0;  1).

Tu  M wertilis koordinatebi sivrceSi aris (x; y; z), maSin OM =(x; y; z) da 

 

   OM = x i +y j +zk   

(*)

x

y

---

37

mniSvnelovania kavSiri veqtorebze moqmedebebsa da veqtoris koordinatebs So-

ris:

Tu  p=(x

1

; y

1

; z

1

),  q=(x

2

; y

2

; z

2

), maSin

p+q=(x

1

+x

2

; y

1

+y

2

; z

1

+z

2

);

p – q=(x

1

-x

2

; y

1

-y

2

; z

1

-z

2

).

Tu  p=(x; y; z),  α∈R,

maSin  αp=(αx;  αy;  αz).

es faqtebi paragrafis Teoriul nawilSi debulebebis saxiTaa warmodgenili da 

maTi damtkicebisTvis gamoiyeneT veqtoris (*) warmodgena. SesaZlebelia damtkice-

ba dafaze CavataroT da amisTvis romelime moswavle gamoviZaxoT, romelsac dae-

valeba klasSi mimdinare ganxilvis oponireba da dafaze asaxva.

paragrafis meore nawilSi vixsenebT veqtorebis skalarul namravls: 

  

 

a ⋅ b =|a|⋅| b|⋅ cosϕ, sadac ϕ aris kuTxe a-sa da b-s Soris.

skalaruli namravlis Tvisebebia:

1)  a ⋅ b = b ⋅ a 

2)  (αa)⋅ b)=α(a⋅b),  α∈R 

3) (a+b)⋅c=a ⋅ c+b ⋅ c

4)  (αa +bb)⋅ (gc +δd) =αga⋅c + αδa⋅d + bgb⋅c + bδb⋅d,  α,  b,  g,  δ∈R.

mniSvnelovani Sedegia:

Tu  a=(x

1

; y

1

; z

1

),  b=(x

2

; y

2

; z

2

), maSin a⋅b=x

1

x

2

+y

1

y

2

+z

1

z

2

.

am faqtis damtkicebisas gamoviyenoT veqtoris (*) warmodgena da skalaruli nam-

ravlis Tvisebebi:

  

a =x

1

i +y

1

j +z

1

k, 

b =x

2

i +y

2

j +z

2

k

  

a ⋅ b =x

1

x

2

i ⋅ i +x

1

y

2

i ⋅ j +x

1

z

2

i ⋅k+y

1

x

2

j ⋅ i +y

1

y

2

j ⋅ j +y

1

z

2

j ⋅k+z

1

x

2

k⋅ i +z

1

y

2

k⋅ j +z

1

z

2

k⋅k.

Tu gaviTvaliswinebT, rom  i ,  j ,  k wyvil-wyvilad marTobuli ortebia

 

    i ⋅ j = i ⋅k=...=k⋅ j =0: 

amasTanave,  i ⋅ i = j ⋅ j =k⋅k=1, maSin miviRebT;

 

   a ⋅ b =x

1

x

2

+y

1

y

2

+z

1

z

2

.

am formulis gamoyenebiT miiReba or veqtors Soris kuTxis kosinusis gamosax-

uleba veqtorebis koordinatebis saSualebiT:

 

  cosϕ= 

√

x

1

2

+y

1

2

+z

1

2

√

x

2

2

+y

2

2

+z

2

2

x

1

x

2

+y

1

y

2

+z

1

z

2

 .

SevniSnoT, rom a  da b aranulovani veqtorebi TanamimarTulia mxolod maSin, 

roca  cosϕ=1; sawinaaRmdegodaa mimarTuli _ roca cosϕ=–1 da marTobulia, roca 

cosϕ=0, anu x

1

x

2

+y

1

y

2

+z

1

z

2

=0.

---