Giperbolik tipdagi tenglamalarni to‘r metodi bilan yechish

Giperbolik tipdagi tenglamalarni to‘r metodi

bilan yechish.

(1)

ko‘rinishidagi tenglama berilgan bo‘lsin, bu yerda a, b, c, d, g, f -

m a’lum biror G sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi

funksiyalar, n (x ,y ) esa topilishi lozim funksiya. G sohada

a (x ,y ) h (x ,y ) > 0 shart o‘rinli deymiz, ya’ni (1) giperbolik tipga ega.

Bundan tasliqari, aniqlik uchun a [ x ,y ), b (x ,y ) G da musbat bo‘lsin

deb hisoblaymiz.

Quyidagi masalalami ko‘ramiz.

Koshi masalasi: sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi shunday u (x ,y ) funksiya topilsinki, G sohada

1. 
   tenglamani qanoatlantirib, y = 0 to‘g ‘ri chiziqda
   

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin, bu yerda berilgan ma’lum funksiyalar.

Aralash chegaraviy masala: G = { 0< y < Y,a < x < P} sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi shunday u (x,y ) funksiyani topil-sinki, u G da (1) tenglamani qanoatlantirib, y = 0 to‘g‘ri chiziqda (2) boshlang‘ich shartni va x = a , x = p to‘g‘ri chiziqda quyidagi uch turdagi chegaraviy shartlami birortasini qanoatlantirsin:

1. 
   birinchi tur chegaraviy shartlar:
   

(3)

2. 
   ikkinchi tur chegaraviy shartlar:
   

(4)

4. 
   uchinchi tur chegaraviy shartlar:
   

B u yerda berilgan funksiyalar va lar

shartlami qanoatlantiradi.

1. Koshi masalasini yechish.

(1), (2) Koshi masalasini to‘r metodi bilan yechish masalasini

ko‘ramiz. Qadamlari h va / bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak to ‘r olamiz:

va (1) tenglamani to‘r sohaning ichki ( , y,) tugunida approksimatsiya

etish uchun nuqtalami jalb qilamiz.

Natijada quyidagi

(6)
ko‘rinishidagi to‘r tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz, bu yerda

A gar (l)ning yechimi qaralayotgan sohada x va y o'zgaruvchilar bo'yicha to‘rtinchi tartibgacha hosilalari uzluksiz va chegaralangan bo‘lsa, u holda (l)ni (6)ga o‘tkazishdagi xatolik

(1) boshlangich shartlari

(7)

k o‘rinishidagi to ‘r funksiyalar bilan approksimatsiya qilamiz. Ikkinchi boshlangich shart approksimatsiyasining xatoligi

bo‘-lishligi ayondir. Shunday qilib, (1), (2) differensial masala (6), (7) to‘r masalaga o‘tkazildi.

7. 
   formula utj to‘r funksiyaning j = 0 (nolinchi qatlam)da va j = 1
   

(birinchi qatlam)da qiymatlarini topish imkonini beradi. j > 1

bo'lgandagi ui} ning qiymatlarini esa (6) formula bilan aniqlanadi.

Bunda / shunday bo‘lishi kerakki Atj < 0 ligiga erishish zarur.

Endi =a qanday bo’lishligini aniqlaymiz. Bu savolga to’liq javob olish maqsadida quyidagi Koshi masalasini ko’ramiz.

Bu yerda
Bu holda (6) to‘r tenglama

(10)

ko’rinishda bo’ladi, (7) esa o’zgarishsiz qoladi. Kordinatalari (x_i,y_i) bo’lgan S nuqtada (8), (9) masala yechimining qiymatini hisoblash talab qilingan bo’lsin.

Ma’lumki (8) tenglamaning S nuqtadagi yechimining qiymati (x_i, y_j ) nuqtadan o’tuvchi

xarakteristikalar y = o to‘g ‘ri chiziqda ajratadigan kesmadagi shartlar

bilan, ya’ni AB kesmadagi boshlangich shartlar bilan bir qiymatli aniqlanadi. (8) tenglamaning xarakteristikalari o‘zaro perpendikular b o iib , Ox o ‘qi bilan 45° va 135° burchaklami tashkil etadi. ASB

uchburchak (8) differensial tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi deyiladi. Agar to‘r funksiyaning S nuqtadagi yechimi u:J ni (10) formula yordamida hisoblasak, u boshlangich shartni CD kesmadagi qiymatlari orqali ifodalanadi. Bu kesma S nuqtadan o‘tuvchi va Ox o‘qi bilan ZSC D = arctga va ZSD B = arctg(-a) tashkil etuvchi to‘g‘ri chiziqlar hosil qilgan uchburchak CSD ning asosidir. Bu uchburchak (10) ayirmali tenglamaning aniqlanganlik uchburchagi deyiladi.

Yuqoridagi chizmada ZSA D < Z S C D , tgZSC D = a = —> 1