Differensial tenglamalarni tuzishga oid misol V amasalalar

OʻZGARUVCHILARI AJRALGAN DIFFERENSIAL TENGLAMALAR.
Taʼrif 1. Agar differensial tenglamada funksiya x va y larga bogʻliq funksiyalar koʻpaytmasi koʻrinishda boʻlsa,


(1)
bu yerda va – uzluksiz funksiyalar, (1) ga oʻzgaruvchilari ajralgan differensial tenglama deyiladi.


ni ekanligini eʻtiborga olib, x-larni bir tomonga, y-larni ikkinchi tomonga oʻtqazamiz





ekanligiga ishonch hosil qilish kerak. Agar topilsaki boʻlsa, u holda bu qiymat ham differensial tenglama yechimi boʻladi. -ga boʻlish yechimni yoʻqotishga olib kelishi mumkin.

deb belgilash kiritsak
– oʻzgaruvchilari ajralgan differensial tenglamaning umumiy yechimiga ega boʻlamiz.

Agar -lar ham shu umumiy yechim ichiga kirsa, umumiy yechim shundoq qoladi, kirmasa bu yechimlarni ham alohida yozish kerak. Masalan:

Misol. -?


, –larni yechim boʻlish boʻlmasligini ham tekshirib koʻramiz, ularni differensial tenglamaga qoʻyib koʻrilsa, differensial tenglama ayniyatga aylanadi. Demak ular ham yechim boʻladi. Ikkala tomondan ham integral olamiz.

y=U(x)v(x)=Uv
ko’rinishida izlaymiz.
y’=U’v+Uv’ ni tenglamaga qo’yib

U’V+V’U+(x)UV+q(x)=0

U’V+(V’+(x)V)U+q(x)=0
V(x) funksiyani
V’(x)+(x)V(x)=0

tenglama o’rinli bo’ladigan qilib tanlab olamiz.

Bu tenglamani yechamiz:

bo’lsin. Topilgan V(x) ni (4) tenglamaga qo’yamiz va hosil bo’lgan tenglamani yechamiz:

berilgan tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz.

Misol.

O'ZGARUVCHILARI AJRALADIGAN BIR JINSLI VA UNING KELTIRILADIGAN DIFFERENSIAL TENGLAMALAR

O’ng tomoni faqat x hamda faqat y o’zgaruvchilarning funksiyalari ko’paytmasidan iborat tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi, ya’ni


(1)

bu tenglikni dx ga ko’paytirib va g(y) 0 ga bo’lib

tenglikni hosil qilamiz.
Uni integrallab yechimni topish mumkin:


Misol. dy/dx=-
tenglama yechilsin.
Yechish. O’zgaruvchilarni ajratib
dy/y=-dx/x
integrallaymiz:

1 – ta’rif. Agar  ning har qanday qiymatida

f(x,y)=­­^kf(x,y)
tenglik bajarilsa, f(x,y) funksiya x va y o’zgaruvchilarga nisbatan k - tartibli bir jinsli funksiya deyiladi.
2 – ta’rif. Agar birinchi tartibli
(1.2)
differensial tenglamaning o’ng tomoni - f(x,y) 0-tartibli bir jinsli funksiya bo’lsa, u holda (1.2) tenglama bir jinsli tenglama deyiladi.
f(x,y) nolinchi tartibli bir jinsli bo’lsa, u holda ixtiyoriy  uchun f(x,y)=f(x,y) bo’ladi. Xususan,

u holda (1.2) tenglama
(2)
Bu tenglamani yechish uchun y/x=U deb olamiz.
U holda y=Ux, y’=U’x+U.
Bularni (2) ga qo’yib



o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga kelamiz.



Integrallagandan so’ng U ni o’rniga u/x ni qo’ysak, (2) tenglamaning umumiy integrali hosil bo’ladi.
Misol.

- 0-tartibli bir jinsli funksiya.
Tenglamani quyidagicha yozib olamiz:

uzgaruvchilari ajraladigan differentsial tenglamani hosil qilamiz.
Natijada

UMIYLASHGAN BIR JINSLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR

Dastavval, ayrim sodda differensial tenglamaning umumiy yechiminitopish bilan shug'ullanamiz.

Ushbu
y' = f(x)*g(y) (1.1.1)
ko'rinishdagi differensial tenglamaga oʻzgaruvchilari ajraladigan differensialtenglama deyiladi. Bu yerdagi f(x) va g(y) funksiyalar mos ravishda aD=(a,b)x(c,d)={(x,y) = R²: asohada aniqlangan va uzluksizdir. (1.1.1) ko'rinishdagi differensial tenglamaning yechimini topish uchun quyidagi ikki holni ko'rib chiqamiz. 1-hol. Aytaylik, g(y) 0, ye(c,d) bo'lsin. U holda (1.1.1)
differensial tenglamani ushbu ko'rinishda yozish mumkin. Bu tenglikning ikkala tomonini integrallab
munosabatni hosil qilamiz. Ma'lumki, va funksiyalar uzluksiz ekanligidan, ularning mos ravishda boshlang'ich va funksiyalarining mavjudligi kelib chiqadi. Shuning uchun (1.1.2) tenglikni
koʻrinishda yozish mumkin. Qaralayotgan holda monoton funksiya boʻladi.
Chunki Bundan esa uning teskarisi mavjud ekanligi kelib chiqadi. Yuqoridagi (1.1.3) tenglikdan
(1.1.4)
funksiyani topamiz. O'z navbatida bu funksiya qaralayotgan holda (1) differensial tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi.

2-hol. Aytaylik biror nuqtada bo'lsin. Bu tenglamaning ildizi yordamida aniqlangan y(x)= o'zgarmas funksiya (1.1.1) differensial tenglamaning yechimidan iborat boʻladi.

Demak, (1.1.1) differensial tenglamaning umumiy yechimi
(1.1.5)
ko'rinishda bo'lar ekan.

Endi, tayinlangan biror nuqtani olib, (1.1.1) differensial tenglamaning ushbu

(1.1.6)
boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish bilan shug'ullanamiz. Shu maqsadda quyidagi
F(x)= (1.1.7)
funksiyalarni tuzib olamiz.
Ushbu yordamchi funksiyani qaraylik. Ko'rinib turibdiki,
shart bajariladi. Aniqlanishiga ko'ra va uzluksiz hamda differensiallanuvchidir. Shuning uchun ham sohada uzluksiz va differensiallanuvchi boʻlib munosabatlarni qanoatlantiradi. Yuqoridagi mulohazalardan ko'rinadiki, oshkormas funksiyani mavjudligi haqidagi teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi:
1. nuqtaning atrofida differensiallanuvchi.

2. .
Bundan tenglama nuqtaning biror atrofida aniqlangan differensiallanuvchi va ushbu shartni qanoatlantiruvchi ildizining mavjudligi kelib chiqadi. Shu bilan bir qatorda

tenglikning oʻrinli boʻlishi ham kelib chiqadi. Ko'rinib turibdiki, y(x) funksiya (1.1.1) differensial tenglamani va (1.1.6) boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini ifodalaydi.
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama
Ushbu koʻrinishdagi tenglamaga birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama
deyiladi. Bu yerda va funksiyalar biror oraliqda aniqlangan va uzluksiz deb qaraladi.
Agar bo'lsa, (1.5.1) tenglamaga chiziqli bir jinsli
bo'lmagan differensial tenglama deyiladi.
Agar bo'lsa,(1.5.1) tenglamaga chiziqli bir jinsli differensial tenglama deyiladi va ushbu
(1.5.2)
ko'rinishni oladi. Bu esa o'zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir. Ko'rinib turibdiki funksiya (1.5.2) differensial tenglamaning yechimidan iborat. Agar bo'lsa, (1.5.2) differensial tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

Bu tenglikning ikkala tomonini integrallab, quyidagi

(1.5.3)
tenglikni olamiz, bu yerda ixtiyoriy haqiqiy son,
tayinlangan son.
Ushbu belgilashdan foydanib, (1.5.3) tenglikdan formulani hosil qilamiz. Bu yerda -ixtiyoriy o'zgarmas son desak, (1.5.4) formula (1.5.2) ko'rinishdagi bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi. Bir jinsli bo'lmagan (1.5.1) ko'rinishdagi differensial tenglamaning umumiy yechimini topishning bir qancha usullari bor. Avvalo biz Lagranj,ya'ni oʻzgarmasni variatsiyalash usuli bilan tanishamiz. Shu maqsadda (1.5.1) differensial tenglamaning yechimini ushbu
ko'rinishda izlaymiz. Bu yerda C(x)-hozircha noma'lum funksiya. (1.5.5) tenglikning ikki tomonini differensialla
(1.5.6)
tenglikni hosil qilamiz. Bu y va y funksiyalarning (1.5.5) va (1.5.6) ifodalarini mos ravishda (1.5.1) differensial tenglamaga qo'yibmunosabatni topamiz. Bundakelib chiqadi. Oxirgi tenglikni
ko'rinishda yozib, uni integrallasak const(1.5.7)
munosabatni hosil qilamiz. Yuqoridagi (1.5.5) tenglikdan va (1.5.7 formuladan foydalanib, 1.5.1) differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz:
(1.5.8)Bu formuladan foydalanib (1.5.1) differensial tenglamaning
(1.5.9)boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini ham topish mumkin:Bu yerda va berilgan sonlar. Agar (1.5.8) tenglikning o'ng tomonidagi ikkinchi hadni
belgilab olsak, u holda funksiya (1.5.1) differensial tenglamaning
boshlang'ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini beradi. Shuning uchun (1.5.13)
koʻrinishni oladi.