Determinants

DETERMINANTS

DETERMINANTS

La Regla de Cramer és un teorema d’ àlgebra lineal, que dóna la solució d'un sistema lineal d'equacions en termes de determinants. Rep aquest nom en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), qui va publicar la regla en la seva “Introduction à l'analyse des lignes courbes algèbriques” de 1750.

Pierre Frédéric Sarrus

Tot i que és conegut per la seva regla va treballar en amplis camps de les matemàtiques: desenvolupaments de sèries, integrabilitat de les funcions diferencials, integrals definides, lleis de moviment dels fluids i les oscil · lacions dels cossos flotants, assaig sobre els moviments dels planetes al voltant del sol, resolució d'equacions numèriques, ...

Ferdinand Georg Frobenius  ( 1848 - 1917)

El teorema de Rouché-Frobenius permet calcular el nombre de solucions d'un sistema d'equacions lineals en funció del rang de la matriu de coeficients i del rang de la matriu ampliada associades al sistema.

Porta el nom del matemàtic francès Eugène Rouché (1832-1910) qui ho va enunciar i del matemàtic alemany Ferdinand Georg Frobenius qui va ser un dels molts matemàtics que ho van demostrar.

DETERMINANTS:

El determinat d’una matriu és un número i només es pot calcular el determinant d’una matriu quadrada.

DETERMINANTS D’ORDRE 2

Donada la matriu:

A=

Anomenem determinant de la matriu A i ho designem per │A│ a la següent expressió:

│A│= = ad-cb

Exercicis: calcula els següents determinants:

; ;

PROPIETATS DELS DETERMINANTS D’ORDRE 2

*EL DETERMINANT D’UNA MATRIU ÉS IGUAL AL DE LA MATRIU TRANSPOSADA

│A│= = ad-cb │A^t│= = ad-cb

Aquesta propietat és important sobretot en els determinants d’ordre superior perquè permetrà acceptar per files les propietats que es demostren per columnes i a l’inversa.

*EL DETERMINANT ÉS FUNCIÓ LINEAL DE LES SEVES FILES I COLUMNES

Respecte de la suma:

La comprovació és evident.

Respecte del producte per un número:

k=

La comprovació és evident.

*SI LES FILES O COLUMNES SÓN IGUALS EL DETERMINANT ÉS 0

=ab-ab=0 =ac-ac=0

*SI S’INTERCANVIEN FILES O COLUMNES EL DETERMINANT CANVIA DE SIGNE

=ad-bc =bc-ad

*SI UNA FILA O CULUMNA D’UN DETERMINANT ÉS TOTA DE ZEROS, EL DETERMINANT ÉS 0

=0

*SI UNA FILA O COLUMNA ÉS COMBINACIÓ LINEAL D’UN ALTRA FILA O COLUMNA EL SEU DETERMINANT ÉS 0

=k=k(ab-ab)=0

*SI A UNA FILA O COLUMNA LI SUMEN UNA ALTRA FILA O COLUMNA MULTIPLICADA PER UNA CONSTANT EL DETERMINANT NO VARIA

=a(d+kb)-b(c+ka)=ad+kab-bc-bka=ad-bc

DETERMINATS D’ORDRE 3 – REGLA DE SARRUS

Per calcular el determinant d’una matriu quadrada d’ordre 3 farem servir la regla de Sarrus que consisteix en:

Exercici:

Calcula el determinant de les següents matrius utilitzant la regla de Sarrus:

A= B=

PROPIETATS DELS DETERMINATS D’ORDRE 3

*El determinant de la matriu i de la transposada és el mateix

*Si una fila o columna està composada per zeros el determinant és 0

*Si un determinat té dues files o columnes iguals el determinat és 0

*Si una fila o columna és combinació lineal de les altres el valor del determinant és 0 i recíprocament, si un determinant és 0, una de les seves files o columnes és combinació lineal de les altres

*Linealitat del determinant ( suma i producte per un número)

*Si en un determinant sumem a una fila o columna una altra multiplicada per una constant el determinant no varia.

DETERMINATS D’ORDRE 3 O SUPERIOR A 3– DESENVOLUPAMENT DEL DETERMINANT PELS ELEMENTS D’UNA LÍNEA( FILA O COLUMNA)

Necessitem introduir alguns conceptes previs:

Menor complementari i adjunt d’un element en una matriu quadrada

Si en una matriu quadrada n × n destaquem un element a_ij en suprimir-ne l fila i la columna s’obté una submatriu ( n-1) × (n-1). El determinant d’aquesta matriu és d’ordre n-1 i s’anomena menor complementari de l’element a_ij i el designem per:α_ij

Anomenem adjunt de a_ij el nombre A_ij = (-1)^i+j· α_ij és a dir, el menor complementari amb el seu signe o amb el signe canviat, segons que i + j sigui parell o imparell.

Exemple donada la matriu:

el menor complementari de l’element a₂₃

És el determinant següent: i el seu adjunt és: (-1)²⁺³· és a dir el valor del determinant canviat de signe per què (-1)⁵ = -1

Exercici: troba els menors complementaris i els adjunts dels elements a₁₂, a₂₃, a₃₃, a₄₁ de la matriu anterior:

Ara un cop tenim clars aquests conceptes podem calcular el desenvolupament del determinant pels elements d’una línia sigui fila o columna:

Si els elements d’una fila o columna d’una matriu quadrada es multipliquen pels seus respectius adjunts i se’n sumen els resultats, s’obté el determinant de la matriu inicial. Es diu llavors que el determinant està desenvolupat pels elements d’aquesta línia.

Per exemple el desenvolupament d’un determinant d’ordre 3 pels elements de la segona columna:

│A│= a₁₂A₁₂ +a₂₂A₂₂ +a₃₂A₃₂

Exercici: Calcula el determinant de la següent matriu:

Desenvolupant-lo per la primera fila; per la segona columna; per la fila i columna que creguis et donarà menys feina i també per la regla de Sarrus. Després comprova que coincideixen els resultats.

PROPIETATS DELS DETERMINATS D’ORDRE 3 O SUPERIOR A 3

*El determinant de la matriu i de la transposada és el mateix

*Si una fila o columna està composada per zeros el determinant és 0

*Si un determinat té dues files o columnes iguals el determinat és 0

*Si una fila o columna és combinació lineal de les altres el valor del determinant és 0 i recíprocament, si un determinant és 0, una de les seves files o columnes és combinació lineal de les altres

*Linealitat del determinant ( suma i producte per un número)

*Si en un determinant sumem a una fila o columna una altra multiplicada per una constant el determinant no varia.

CÀLCUL DEL RANG D’UNA MATRIU PER DETERMINATS

primer donarem alguns conceptes nous com ara el de menor d’una matriu:

Menor d’una matriu: ( no cal que la matriu sigui quadrada per trobar menors, però els menors si que són els determinants de matrius quadrades)

Si en una matriu seleccionem r files i re columnes, els elements en que s’encreuen formen una submatriu quadrada d’ordre r. El determinant d’aquesta submatriu s’anomena menor d’ordre r de la matriu inicial.

Per exemple un menor d’ordre 2:

El menor un cop seleccionades les files i columnes marcades amb les fletxes és:

El determinant de

Ara un menor d’ordre 3:

El determinant de és el menor d’ordre tres un cop seleccionades les files i columnes marcades amb les fletxes.

Exercicis:

Troba dos menors d’ordre 2 i dos menors d’ordre tres qualsevols de la següent matriu:

Orlar:

Donat un menor d’una matriu es poden formar a partir d’ell menors amb una fila i una columna més afegint elements d’una altra fila i una altra columna. D’aquest procés se’n diu ORLAR.

Segons hem aprés en el tema anterior el rang d’una matriu és el nombre de files( o de columnes) linealment independents i hem aprés a fer-ho utilitzant el mètode de Gauss.

Ara ho farem utilitzant determinants.

Com una de les propietats dels determinants és:

*Si una fila o columna és combinació lineal de les altres el valor del determinant és 0 i recíprocament, si un determinant és 0, una de les seves files o columnes és combinació lineal de les altres

Podem dir que:

Rang d’una matriu: ÉS EL MÀXIM ORDRE DELS SEUS MENORS NO NULS.

Pràctica en el càlcul del rang: Primer observarem la matriu atentament i prescindirem de les files o columnes que siguin combinació lineal de les altres. Després començarem orlant la matriu i anirem veient el que passa.

Observació: Com que el determinant d’una matriu i el de la transposada coincideixen, tot el que passa per files també passa per columnes i per tant deduïm que el nombre de files linealment independents coincideix amb el nombre de columnes linealment independents.

Si una matriu té un menor d’ordre k no nul, el seu rang és com a mínim k.

Exercici: Calcula el rang de la matriu: utilitzant determinants.

( és més aconsellable fer-ho per Gauss ja que és més senzill)

TEOREMA DE ROAUCHÉ- FROBENIUS

Sigui el sistema d’equacions lineals:

Anomenem matriu associada al sistema a la matriu de coeficients:

A= i matriu ampliada a la matriu que s’obté afegint la columna dels termes independents a la matriu de coeficients:

AM=

Direm que un sistema d’equacions lineals té solució ( és compatible) si ran de A i rang de AM coincideixen. Direm que no té solució ( és incompatible) si el rang de A i el rang de AM no coincideixen.

En cas que coincideixin, serà compatible determinat si el rang de les matrius coincideix amb el número d’incògnites. I serà compatible indeterminat si el rang de les matrius no coincideix amb el número d’incògnites.

TEOREMA DE ROUCHÈ-FROBENIUS
RangA≠RangAM	SISTEMA INCOMPATIBLE
RangA=RangAM	SISTEMA COMPATIBLE	RangA= número d’incògnites = COM. DETERMINAT
		RangA≠número d’incògnites=COM. INDETERMINAT

Observa aquestes matrius i trobaràs la justificació del Teorema: ( ho fem per un sistema de tres per tres)

C.D

INCOMPATIBLE

C.I

C.I

INCOMPATIBLE

C.I

Exercici: Fes la mateixa reflexió que hem fet per un sistema de 3 per tres si el sistema és de: tres per dos. I si és de 2 per 2? I si és de 2 per 3? Veuràs que també queda justificat el teorema de Rouchè – Frobenius.

Exercici:

Esbrina si els següents sistemes són compatibles o incompatibles:

METODE DE CRAMER PER A LA RESOLUCIÓ DE SISTEMES LINEALS


Anomenem SISTEMA DE CRAMER a un sistema de n equacions amb n incògnites tal que el determinant de la matriu associada és diferent de 0.

Per simplificar els càlculs suposarem un sistema de Cramer de 3 per 3 ( 3 equacions i tres incògnites)

La solució del sistema:

és:

x= y= z=

En aquestes fórmules les anomenem fórmules de Cramer.

La justificació d’aquestes fórmules la tens aquí:

Posem el sistema en forma matricial:

A·X=B com que ≠ 0 aleshores A té inversa i per tant: A^-1·A·X = A^-1·B i veiem que: X=A^-1·B

A_ij és l’adjunt de a_ij

Aleshores tenim que:

Que fent el càlcul matricial ( multiplicació de matrius obtenim el que hem dit anteriorment)

En cas que el sistema no sigui de Cramer:

Trobem el rang de la matriu associada al sistema. Eliminem les equacions que sobrin i passem a l’altre membre tot el que faci falta perquè la matriu associada al sistema sigui quadrada i amb determinat diferent de 0. Estem davant un sistema de Cramer i per tant el podem resoldre com a tal. ( Les solucions quedaran en funció d’un paràmetre o més d’un. El sistema serà compatible indeterminat)

Exercici:

Estudia i resol el següent sistema:

SISTEMES HOMOGENIS

Són aquells que els termes independents són igual a 0:

Té aquestes propietats:

*Té amb seguretat la solució (0,0,0). Anomenada solució trivial.

*Si és compatible determinat l’única solució possible és (0,0,0).

*Sempre que el rang de la matriu associada sigui menor que el número d’incògnites serà compatible indeterminat.

Exercici:

Resol aquests sistemes:





DISCUSSIÓ DE SISTEMES MITJANÇANT DETERMINANTS

Els determinants ens ajuden alhora de discutir com seran les solucions d’un sistema que tingui paràmetres. Encara que hi hagi un únic paràmetre, si aquests apareix diverses vegades al sistema, el mètode dels determinants facilita moltíssim el seu estudi.

Exercici: Estudia aquests sistemes:





INVERSA D’UNA MATRIU UTILITZANT DETERMINANTS

la inversa d’una matriu utilitzant determinants és:

Sigui la següent matriu: A =

La seva inversa és: A^-1 =

EXERCICIS:

1. 
   Calcula el valor dels següents determinants:
   

2. 
   Calcula el valor dels següents determinants:
   

3. 
   Calcula els rangs de les següents matrius:
   

4. 
   Calcula les matrius inverses de:
   

;

5. 
   Estudia el rang de les següents matrius segons el valor de a:
   

; ;

6. 
   Estudia aquests sistemes segons els valors dels paràmetres:
   

7. 
   Quin valor de a anul·la aquests determinants?
   

8. 
   Resol utilitzant la regla de Cramer:
   

9. 
   Resol aquest sistema homogeni:
   

10. 
    Discuteix els sistemes següents segons els valors del paràmetre m:
    

11. 
    Sigui A=
    

Troba els valors de x per als quals A té inversa. Troba si és possible A^-1 per a x=2

12. 
    Donades les matrius:
    

A= B= C= D=

Troba la matriu X que verifica A·B + C·X = D

13. 
    Troba X si 3·A·X = B, de manera que:
    

A B

14. 
    Resol l’equació A· X ·B = C si:
    

15. 
    Donada la matriu:
    

troba una matriu X de manera que A · X · A =