3-teorema. Faraz qilaylik,
darajali qatorning yaqinlashish radiusi , yig’indisi bo’lsin:
.
U holda funkstiya da uzluksiz hosilaga ega va
(3)
bo’ladi, bunda (3) qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng.
◄ Berilgan darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Tekis yaqinlashuvchi funkstional qator-ning xossasiga ko’ra darajali qatorni hadlab differen-stiallash mumkin. Demak, da
.
Bu darajali qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng bo’lishi quyidagi munosabatdan kelib chiqadi:
.►
Natija. Aytaylik, darajali qator berilgan bo’lib, uning yaqinlashish radiusi bo’lsin. Bu qatorni da ixtiyoriy marta hadlab differenstiallash mumkin. Differenstiallash natijasida hosil bo’lgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi ham ga teng bo’ladi.
4-teorema. Aytaylik,
darajali qatorning yaqinlashish radiusi , yig’indisi bo’lsin:
. (4) U holda da bo’ladi.
◄(4) munosabatda deb topamiz:
(4) qatorni hadlab differenstiallaymiz:
Bu tenglikda deyilsa
bo’lishi kelib chiqadi. Shu jarayonni davom ettiraborib
bo’lishini topamiz. ►
1-misol. Ushbu
darajali qator yig’indisi topilsin.
◄Ma’lumki,
darajali qator da yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ga teng:
Bu qatorni hadlab differenstiallab topamiz:
Keyingi tenglikning har ikki tomonini ga ko’paytirsak, unda
bo’lishi kelib chiqadi. ►
2-misol. Ushbu
tenglikning to’g’riligi isbotlansin.
◄Ravshanki, darajali qator da yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi ga teng:
Bu tenglikda ni ga almashtirsak, natijada
tenglik hosil bo’ladi. Uni bo’yicha integrallab topamiz:
3-misol. Ushbu darajali qator yig’indisi topilsin va undan foydalanib
bo’lishi ko’rsatilsin.
◄Ma’lumki,
Bu tenglikda ni ga almashtiramiz. Natijada hosil bo’ladi. Uni bo’yicha integrallab topamiz:
Keyingi tenglikda deylik. Unda tenglikning chap tomoni
sonli qatorga aylanib, u Leybnist teoremasiga ko’ra, yaqin-lashuvchi bo’ladi.
Dostları ilə paylaş: |