Contenu du cours (par J. B. Edel & P. Sailhac) VII. Quelques méthodes d'interprétation et de transformations rapides des anomalies

Contenu du cours (par J.B. Edel & P. Sailhac)

VII. Quelques méthodes d'interprétation et de transformations rapides des anomalies

• VII.1 Problématique du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel

• VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables

• VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel dans le domaine de Fourier

• VII.4 Opérateurs de prolongement et de dérivation

• VII.5 Réduction au pôle et à l’équateur, et signaux analytiques

• VII.6 Transformation en couche équivalente

VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables

• Principales connaissances utiles :

• cf. par exemple cours de Traitement du Signal de Dominique Gibert (Géosciences Rennes)

• A) Origine = Résolution d’un problème physique

• Problème étudié par Jean Batiste Fourier

• Définitions possibles

• Base physique = résolution d’équations physiques

• Cas général de l’équation de Sturm-Liouville

• Cas particulier du prolongement vers le haut (d’un profil)

• B) Propriétés et applications

• Linéarité, symétrie, Similitude, Translation, Dérivation

• Produit de convolution et causalité sources/potentiel

• Transformée de Hilbert et signal analytique

• C) Processus Stochastiques

• Corrélation

• Spectre d’énergie de différents types de bruit

• Spectre d’énergie d’une source en bruit blanc à une profondeur fixée

• D) Echantillonnage et numérisation

• Troncature du spectre et effet de Gibbs (filtrage passe bas)

• Troncature du signal et résolution spectrale

• Echantillonnage et fréquence de Nyquist

• Erreur de discrétisation : repliement du spectre

VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables

• A) Origine = Résolution d’un problème physique

• Problème étudié par Jean Batiste Fourier

• Définitions possibles

VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables

• B) Propriétés et applications

• Définitions possibles  Les opérateurs différentiels ont des expressions simples

VII.2 Rappels sur le domaine de Fourier à 1 et 2 variables

• B) Propriétés et applications

• Définitions possibles  Le produit de convolution est un produit simple

VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel dans le domaine de Fourier

• Exercice permettant de déterminer l’opérateur de prolongement vers le haut

VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel dans le domaine de Fourier

• Expressions de l’opérateur de prolongement vers le haut

• (passant d’un plan à l’altitude a vers un plan à l’altitude a+h) :

VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel dans le domaine de Fourier

• Exercice permettant de déterminer l’opérateur de dérivation verticale

VII.3 Expression des principales transformations des champs de potentiel

• Prolongement vers le haut tel que nous l’avons exprimé, à partir de données sur un plan (pour un potentiel f) :

• avec

• Troisième Identité de Green (U de classe C2 sur un domaine assez régulier R, dont S est la surface fermée avec sa normale n) :