Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Kramer formulasi va Gauss usuli Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. Kramer formulasi va Gauss usuli

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi.

Kramer formulasi va Gauss usuli.

Kramer formulasi.

Faraz qilaylik birinchi darajali, ikkita noma’lumli ikkita algebraik tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

(1)

(1) sistemaning 1-tenglamasini a₂₂ ga, 2-tenglamasini -a₁₂ ga ko’paytirib qo’shsak
(a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)x₁= b₁a₂₂-b₂a₁₂  (2)

Agar (1) sistemaning 1-tenglamasini -a₂₁ ga, 2-tenglamasini a₁₁ ga ko’paytirib qo’shsak

(a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)x₂= b₂a₁₁-b₁a₂₁  (3)

(2) va (3) larga e’tibor bersak ikkinchi tartibli determinantning ta’rifiga ko’ra

x₁= ; x₂= ; (4)

(4) ga Kramer formulasi deyiladi.

(1) sistema yagona yechimga ega bo’lishi uchun bo’lishi zarur va kifoya.
(4) ga e’tibor bersak berilgan (1) sistemadagi noma’lumlarning oldidagi koeffiSiyentlardan tuzilgan 2-tartibli determinant ₁, ₂ lar esa mos ravishda ning birinchi va ikkinchi ustunlarini ozod xadlar bilan almashtirishdan xosil bo’lgan determinantlar.
Agar uch noma’lumli uchta algebraik tenglamalar sistemasi
berilgan bo’lib, bo’lsa
berilgan sistemaning yechimi
x₁= ; x₂= ; x₃= . (5)
Kramer formulalari orqali aniqlanadi. Bu yerda xam ₁, ₂, ₃ lar
ning ustun elementlarini mos ravishda
ketma-ket ozod xadlar bilan almashtirishdan xosil bo’ladi.
Agar birinchi darajali n ta noma’lumli n ta algebraik tenglamalar sistemasi
berilgan bo’lib,
bo’lsa ,berilgan sistemaning yechimi Kramer formulasiga ko’ra qo’yidagicha aniqlanadi.
x₁= , x₂= , ... , x_n= (6)
₁, ₂, …, _n lar ning ustun elementlarini mos ravishda ketma-ket ozod xadlar bilan almashtirishdan xosil bo’ladi.
Misol. 1) (x=-1; u=2), 2) ,
(x=1;y=-2; z=-1).
Agar uch noma’lumli bir jinsli ikkita tenglamalar sistemasi
(7)
berilgan bo’lib,
₁= , ₂= _, ₃=
determinantning loaqal bittasi noldan farqli bo’lsa, u xolda (7) sistemaning barcha yechimlari
x=₁t, y=₂t, z=₃t (8)
formula bilan aniqlanadi. (t-ixtiyoriy son).
(9)
(9) da 0 bo’lsa, x=0 ,u=0 ,z=0 lar sistemaning yagona yechimi bo’ladi.
Agar ∆=0 bo’lsa, (9) ning cheksiz ko’p yechimi bo’lib, ular (7) kabi aniqlanadi.
Misol.
1) (x=3t; u=4t;z=11t),

2) (x=2t;y=-3t; z=5t).

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini Gauss

usuli bilan yechish.

Quyidagi n ta noma’lumli m ta chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:

(1)

a_ij (i=1,...,m; j=1,...,n) koeffisiyentdagi birinchi indeks tenglama nomerini,ikkinchi indeks esa noma’lum nomerini bildiradi.

1-ta’rif. Agar (1) sistema yechimga ega bo’lsa, unga birgalikda bo’lgan sistema, agar yechimga ega bo’lmasa birgalikda bo’lmagan sistema deyiladi.
2-ta’rif. Agar birgalikda bo’lgan chiziqli tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’lsa, uni aniq sistema deyiladi. Agar cheksiz ko’p yechimga ega bo’lsa, uni aniqmas sistema deyiladi.
Chiziqli tenglamalar sistemasida qo’yidagi elementar almashtirishlarni bajarish mumkin.

1. Istalgan ikkita tenglamani o’rinlarini almashtirish mumkin.

2. Tenglamalarning ixtiyoriy bittasining ikkala tomonini noldan farqli istalgan songa ko’paytirish mumkin.
3. Ixtiyoriy bitta tenglamasining xar ikkala tomonini biror xaqiqiy songa ko’paytirib, boshqa biror tenglamaga qo’shish mumkin.
Bu elemantar almashtirishlarni bajarganimizda xosil bo’lgan sistema berilgan sistemaga teng kuchli bo’ladi.
Endi (1) sistemani Gauss usuli bilan yechishga o’taylik. Bu usulning moxiyati shundan iboratki noma’lumlarni ketma-ket yo’qotib ,berilgan sistemaga teng kuchli bo’lgan uchburchak (yoki pog’onasimon) ko’rinishdagi sistemaga keltiriladi. a₁₁≠0 deb (1) ning birinchi tenglamasini a₁₁ ga bo’lib, so’ngra uni -a₂₁ ga ko’paytirib, ikkinchi tenglamaga qo’shamiz.
Keyin -a₃₁ ga ko’paytirib, uchinchi tenglamaga qo’shamiz va shu jarayonni davom ettiraversak natijada shunday sistema xosil bo’ladiki, u sistemaning faqat birinchi tenglamasida x₁ qatnashib qolganlarida qatnashmaydi.
Shu jarayonni (1) sistemaning qolgan tenglamalariga ketma-ket tatbiq etsak, qo’yidagi ikkita sistemaning bittasiga kelamiz.

(2) yoki (3)

(2) sistemaga uchburchak sistema , (3) ga esa pog’onali sistema deyiladi.
Agar (1) sistema (2) ko’rinishdagi sistemaga keltirilsa, u xolda (1)sistema birgalikda bo’lgan sistema bo’lib yechimi yagona bo’ladi. Agar(1)sistema (3) ko’rinishdagi sistemaga keltirilsa u xolda (1) sistema birgalikda bo’lib, yechimi cheksiz ko’p bo’ladi.
Misol. 1)

Yechish. a₁₁=2≠0 bo’lgani uchun birinchi tenglamani 2 ga bo’lamiz.

Bu sistemaning 1-tenglamasini (-3) ga ko’paytirib 2-tenglamaga, (-5)ga ko’paytirib 3-tenglamaga qo’shsak

Endi bo’lgani uchun 2-tenglamani ga bo’lib , so’ngra uni ga ko’paytirib 3- tenglamadan ayirsak:

 x₁=-4;x₂=3;x₃=-1.
2)

1-tenglamani (-2) ga ko’paytirib 2-tenglamaga ,(-1) ga ko’paytirib

3-tenglamaga qo’shsak 
x₂=1+x₃; x₁=1-2-2x₃+ 4x₃-= 2x₃-1.
Shunday qilib x₁=2x₃-1; x₂=1+x_3.
Demak berilgan sistema cheksiz ko’p yechimga ega ekan, chunki x₃ ga ixtiyoriy son berib, x₁, x₂ larning cheksiz ko’p qiymatlarini xosil qilamiz.

Misollar.

51. 52. 53.

54. 55. 56.

57. 58. 59.

60. 61. 62.

63. 64. 65.

66. 67.

Matrisalar yordamida chiziqli algebraik
tenglamalar sistemasini yechish.
Qulaylik uchun uchta noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasini ko’raylik.

Elementlari noma’lumlarning koeffisiyentlaridan, noma’lumlardan va ozod

xadlardan tuzilgan quyidagi matrisalarni ko’raylik.
A= , X= , C=
Bu xolda (1) sistemani qo’yidagicha yozish mumkin.
x = AX=C (2).
Agar A matrisa maxsusmas matrisa bo’lsa, u xolda unga teskari bo’lgan
A^-1 matrisa mavjud bo’ladi. Shuning uchun (2) ning xar ikkala tomonini A^-1 ga ko’paytirsak
A^-1(AX)= A^-1C (A^-1A)X= A^-1C
Agar A^-1A=AA^-1 =E va EA=AE=A tengliklarni e’tiborga olsak
(A^-1A)X= A^-1C EX= A^-1C X= A^-1C (3),
(3) (1)-sistemaning yechimini ifodalaydi.