Bab I sistem koordinat

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 8, nyatakan masing-masing dengan dua koordinat yang lain, satu dengan dan yang lain dengan .

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

Untuk soal 9 – 16, nyatakan dalam sistem koordinat kartesius.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

Untuk soal 17 – 23, ubahlah ke dalam sistem koordinat kutub.

17. 18. 19. 20.

21. 22. 23.

Untuk soal 24 – 29, nyatakan masing-masing persamaan ke dalam sistem koordinat kartesius.

24. 25. 26.

27. 28. 29.

Nyatakan persamaan pada soal 30 – 32 ke dalam sistem koordinat kutub.

30. 31. 32.

33. Tunjukkan bahwa jarak titik dan adalah:

1. 
   Sistem Koordinat dalam Ruang (R³)
   

Koordinat Cartesius

Untuk menyatakan posisi sebuah benda di dalam ruang, dibutuhkan suatu sistem koordinat yang memiliki pusat koordinat dan sumbu koordinat. Sistem koordinat yang paling umum adalah koordinat kartesius. Jika kita berbicara ruang 2 dimensi, maka koordinat kartesiusn 2 dimensi memiliki pusat di O dan 2 sumbu koordinat yang saling tegak lurus, yaitu x dan y.

Selanjutnya koordinat kartesius 2 dimensi dapat diperluas menjadi Kartesius 3 dimensi yang berpusat di O dan memiliki sumbu x, y dan z. Pada Gambar berikut menyatakan titik P dapat dinyatakan dalam x, y dan z. OP adalah jarak titik P ke pusat O.



Gambar 12
Koordinat kartesius 3 dimensi (x, y, z) pada Gambar 12 di atas dapat diubah menjadi koordinat tabung dan koordinat bola.

Hubungan diantara ketiganya, jika P(x,y,z) adalah letak titik dalam koordinat kartesius, maka adalah letak dalam koordinat tabung dan adalah titik dalam koordinat bola (spherical coordinate).

Hubungan ketiga koordinat dapat digambarkan sebagai berikut:




























Gambar 13
Koordinat Cartesius dan koordinat tabung dihubungkan oleh persamaan:










Perhatikan contoh berikut:

1. 
   (3,3,5) menyatakan letak titik P pada ruang dalam koordinat kartesius. Ubah dan Nyatakan letak titik P dalam koordinat tabung.
   

Jawab

Koordinat kartesius dan koordinat tabung dinyatakan dalam hubungan

, ,,dan sehingga:

Jadi koordinat tabung dari adalah

1. 
   menyatakan letak titik Q pada ruang dalam koordinat tabung. Ubah dan Nyatakan letak titik Q dalam koordinat kartesius.
   

Jawab

Koordinat kartesius dan koordinat tabung dinyatakan dalam hubungan

, ,,dan sehingga:

Jadi koordinat kartesius adalah

1. 
   menyatakan letak titik W dalam koordinat bola. Ubah dan nyatakan letak titik W dalam koordinat kartesius dan koordinat tabung.
   

Jawab

Koordinat kartesius, koordinat tabung dan koordinat bola mempunyai hubungan sebagai berikut:

sehingga dari titik diketahui

dan diperoleh

Jadi koordinat kartesius adalah , dan koordinat tabung adalah .

1. 
   menyatakan letak titik M dalam koordinat kartesius. Ubah dan nyatakan letak titik W dalam koordinat tabung dan koordinat bola.
   

Jawab

Koordinat kartesius, koordinat tabung dan koordinat bola mempunyai hubungan sebagai berikut:

sehingga dari titik diketahui

dan diperoleh

Jadi koordinat tabung adalah , dan koordinat bola adalah .

1. 
   menyatakan letak titik T dalam koordinat tabung. Ubah dan nyatakan letak titik T dalam koordinat kartesius dan koordinat bola.
   

Jawab

Koordinat kartesius, koordinat tabung dan koordinat bola mempunyai hubungan sebagai berikut:

sehingga dari titik diketahui dan diperoleh

Jadi koordinat kartesius adalah , dan koordinat bola adalah .

Untuk latihan bagi pembaca ubah koordinat berikut dalam koordinat yang sesuai:
NoKoordinatkartesiustabungbola1.2. ....3.........4.........5.........6.........7..........8.........9.........10..........11.........

Di atas telah dibahas transformasi dari koordinat kartesius ke koordinat tabung dan koordinat bola.

1.3 Sistem Koordinat Lainnya

Selain sistem koordinat kartesius, kutub, tabung, dan bola sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya, terdapat beberapa sistem koordinat yang sering digunakan dalam ilmu hisab. Sistem koordinat tersebut adalah:

1. 
   Koordinat ekliptika heliosentrik (heliocentric ecliptical coordinate).
   
2. 
   Koordinat ekliptika geosentrik (geocentric ecliptical coordinate).
   
3. 
   Koordinat ekuator geosentrik (geocentric equatorial coordinate).
   
4. 
   Koordinat horison (horizontal coordinate).
   

Keempat sistem koordinat di atas termasuk ke dalam koordinat bola. Sebenarnya masih ada sistem koordinat lainnya, misalnya sistem koordinat ekuator toposentrik (topocentric equatorial coordinate). Namun tidak dibahas dalam tulisan ini. Sekilas, banyaknya sistem koordinat di atas bisa membuat rumit. Namun pembagian sistem koordinat di atas berasal dari benda langit manakah yang dijadikan pusat koordinat, apakah bidang datar sebagai referensi serta bagaimana cara mengukur posisi benda langit lainnya. Penting pula untuk diketahui bahwa seluruh benda langit dapat dianggap seperti titik. Bisa pula dianggap seperti benda yang seluruhnya terkonsentrasi di pusat benda tersebut. Jika kita memperoleh jarak bumi-bulan, maka yang dimaksud adalah jarak antara pusat bumi dengan pusat bulan.

Sistem koordinat ekliptika heliosentrik dan sistem koordinat ekliptika geosentrik sebenarnya identik. Yang membedakan keduanya hanyalah manakah yang menjadi pusat koordinat. Pada sistem koordinat ekliptika heliosentrik, yang menjadi pusat koordinat adalah matahari (helio = matahari). Sedangkan pada sistem koordinat ekliptika geosentrik, yang menjadi pusat koordinat adalah bumi (geo = bumi). Karena itu keduanya dapat digabungkan menjadi sistem koordinat ekliptika. Pada sistem koordinat ekliptika, yang menjadi bidang datar sebagai referensi adalah bidang orbit bumi mengitari matahari (heliosentrik) yang juga sama dengan bidang orbit matahari mengitari bumi (geosentrik).

Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik (Heliocentric Ecliptical Coordinate)

Pada koordinat ini, matahari (sun) menjadi pusat koordinat. Benda langit lainnya seperti bumi (earth) dan planet bergerak mengitari matahari. Bidang datar yang identik dengan bidang xy adalah bidang ekliptika yatu bidang bumi mengitari matahari.

Gambar 14
Sistem koordinat ekliptika heliosentrik

1. 
   Pusat koordinat: Matahari (Sun).
   
2. 
   Bidang datar referensi: Bidang orbit bumi mengitari matahari (bidang ekliptika) yaitu bidang xy.
   
3. 
   Titik referensi: Vernal Ekuinoks (VE), didefinisikan sebagai sumbu x.
   
4. 
   Koordinat:
   
5. 
   r = jarak (radius) benda langit ke matahari
   
6. 
   l = sudut bujur ekliptika (ecliptical longitude), dihitung dari VE berlawanan arah jarum jam
   
7. 
   b = sudut lintang ekliptika (ecliptical latitude), yaitu sudut antara garis penghubung benda langit-matahari dengan bidang ekliptika.
   

Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik (Geocentric Ecliptical Coordinate)

Pada sistem koordinat ini, bumi menjadi pusat koordinat. Matahari dan planet-planet lainnya nampak bergerak mengitari bumi. Bidang datar xy adalah bidang ekliptika, sama seperti pada ekliptika heliosentrik.

Gambar 15

Sistem koordinat ekliptika geosentrik

1. 
   Pusat Koordinat: Bumi (Earth)
   
2. 
   Bidang datar referensi: Bidang Ekliptika (Bidang orbit bumi mengitari matahari, yang sama dengan bidang orbit matahari mengitari bumi) yaitu bidang xy.
   
3. 
   Titik referensi: Vernal Ekuinoks (VE) yang didefinisikan sebagai sumbu x.
   
4. 
   Koordinat:
   
5. 
   Jarak benda langit ke bumi (seringkali diabaikan atau tidak perlu dihitung)
   
6. 
   Lambda = Bujur Ekliptika (Ecliptical Longitude) benda langit menurut bumi, dihitung dari VE.
   
7. 
   Beta = Lintang Ekliptika (Ecliptical Latitude) benda langit menurut bumi yaitu sudut antara garis penghubung benda langit-bumi dengan bidang ekliptika
   

Sistem Koordinat Ekuator Geosentrik (Geocentric Equatorial Coordinate).

Ketika bumi bergerak mengitari matahari di bidang ekliptika, bumi juga sekaligus berotasi terhadap sumbunya. Penting untuk diketahui, sumbu rotasi bumi tidak sejajar dengan sumbu bidang ekliptika. Atau dengan kata lain, bidang ekuator tidak sejajar dengan bidang ekliptika, tetapi membentuk sudut kemiringan (epsilon) sebesar kira-kira 23,5 derajat. Sudut kemiringan ini sebenarnya tidak bernilai konstan sepanjang waktu. Nilainya semakin lama semakin mengecil.

Gambar 16
Sistem koordinat ekuator geosentrik

1. 
   Pusat koordinat: Bumi
   
2. 
   Bidang datar referensi: Bidang ekuator, yaitu bidang datar yang mengiris bumi menjadi dua bagian melewati garis khatulistiwa
   
3. 
   Koordinat:
   
4. 
   jarak benda langit ke bumi.
   
5. 
   Alpha = Right Ascension = Sudut antara VE dengan proyeksi benda langit pada bidang ekuator, dengan arah berlawanan jarum jam. Biasanya Alpha bukan dinyatakan dalam satuan derajat, tetapi jam (hour disingkat h). Satu putaran penuh = 360 derajat = 24 jam = 24 h. Karena itu jika Alpha dinyatakan dalam derajat, maka bagilah dengan 12 untuk memperoleh satuan derajat. Titik VE menunjukkan 0 h.
   
6. 
   Delta = Declination (Deklinasi) = Sudut antara garis hubung benda langit-bumi dengan bidang ekliptika.Nilainya mulai dari -90 derajat (selatan) hingga 90 derajat (utara). Pada bidang ekuator, deklinasi = 0 derajat.
   

Seringkali, Alpha (right ascension) dinyatakan dalam bentuk H (hour angle). Hubungan antara Alpha dengan H adalah H = LST - Alpha.

Disini, LST adalah Local Sidereal Time, yang sudah penulis bahas sebelumnya pada tulisan tentang Macam-Macam Waktu
Sistem Koordinat Horison (Horizontal Coordinate).

Pada sistem koordinat ini, pusat koordinat adalah posisi pengamat (bujur dan lintang) yang terletak di permukaan bumi. Kadang-kadang, ketinggian pengamat dari permukaan bumi juga ikut diperhitungkan. Bidang datar yang menjadi referensi seperti bidang xy adalah bidang horison (bidang datar di sekitar pengamat di permukaan bumi).

Gambar 17
Sistem koordinat horison

1. 
   Pusat koordinat: Pengamat di permukaan bumi
   
2. 
   Bidang datar referensi: Bidang horison (Horizon plane)
   
3. 
   Koordinat:
   
4. 
   Altitude/Elevation = sudut ketinggian benda langit dari bidang horison. h = 0 derajat berarti benda di bidang horison. h = 90 derajat dan -90 derajat masing-masing menunjukkan posisi di titik zenith (tepat di atas kepala) dan nadir (tepat di bawah kaki).
   
5. 
   A (Azimuth) = Sudut antara arah Utara dengan proyeksi benda langit ke bidang horison.
   

Jarak benda langit ke pengamat dalam sistem koordinat ini seringkali diabaikan, karena telah dapat dihitung sebelumnya dalam sistem koordinat ekliptika.

Catatan penting: Dalam banyak buku referensi, azimuth seringkali diukur dari arah selatan (South) yang memutar ke arah barat (West). Gambar 17 di atas juga menunjukkan bahwa azimuth diukur dari arah Selatan. Namun demikian, dalam pemahaman umum, orang biasanya menjadikan arah Utara sebagai titik referensi. Karena itu dalam tulisan ini penulis menjadikan sudut azimuth diukur dari arah Utara. Untuk membedakannya, lambang untuk azimuth dari arah selatan dinyatakan sebagai As, sedangkan azimuth dari arah utara dinyatakan sebagai A saja. Hubungan antara As dan A adalah A = As - 180 derajat. Jika As atau A negatif, tinggal tambahkan 360 derajat.

Suatu sistem koordinat dengan sistem koordinat lainnya dapat dihubungkan melalui transformasi koordinat. Misalnya, dari algoritma untuk menghitung posisi bulan menurut sistem koordinat ekliptika geosentrik, kita dapat menentukan jarak bulan dari pusat bumi, sudut lambda dan beta. Selanjutnya, sudut lambda dan beta ditransformasi untuk mendapat sudut alpha dan delta dalam sistem koordinat ekuator geosentrik. Dari alpha dan beta, serta memperhitungkan posisi pengamat (bujur dan lintang) dan waktu saat pengamatan/penghitungan, maka sudut ketinggian (altitude) dan azimuth bulan menurut sistem koordinat horison dapat diketahui dengan tepat. Rumus-rumus transformasi koordinat yang membutuhkan pengetahuan trigonometri

Kalkulus Peubah Banyak : Dwi Purnomo -