A special Case of the Filon Quadrature

---

A  Special  Case  of  the  Filon  Quadrature 

Formula*

By Lloyd D. Fosdick

Introduction.  The  Filon  quadrature  formula  [1] is used  for  the  numerical  evalua-

tion  of  integrals  of  the  form

=  J   fix) sin ikx)dx ,       C =  J

(1) 

£  =  /   fix)  sin  ikx)dx ,       C  =  /   fix)  cos ikx)dx .

J  a 

J  a

The  Filon  formula  is  advantageous 

over  usual  numerical  integration  formulas  for

smooth  fix),  especially  for  large  k,  since  the  number  of  points  which  need  be  tabu-

lated  depends  on  the  behavior  of fix)  rather  than  on fix)  sin  kx or fix)  cos  kx.  Under

certain  circumstances 

the  Filon  quadrature 

formula  reduces  to  a  simple  form,

namely

(2)  S* =  ii-l)m/k){fia)  -  fib)} ,       C* =  ii-l)m/k)[fib)  -  fia)} ,

where  the  asterisk  is  used  to  denote  the  inexact  result  produced  by  the  quadrature

formula;  a  and  the  integer  m  are  related  through  the  condition

(3) 

a  =  mir/k     for S  ,       a  =  im  +  h)ir/k    for C

and,  finally,  the  integration  interval  (a,  b)  satisfies  the  condition

(4) 

(6 -  a)  =  2iir/k  ,

where  i  is  any  integer.  It  would  seem  that  the  error  associated  with  the  use  of  Eq.

(2)  as  approximations 

for  S  and  C would  be  intolerable.  However,  this  suspicion  is

unfounded  when  ky>  1.  Let  E,  and  Ec  be  the  error  terms,  thus

(5) 

S  =  S* +  Es     and     C  -  C* +  Ec,

then  it  is  shown  below  that

(6) 

\E,\  á  M(b  -  a)/k3   and    \E.\  ¿  M(6  -  a)/kz

where

(7) 

M =

max

dx

Since  the  error  is  proportional  to  k~3, it  will  be  small  for  large  k,  provided  that  the

third  derivative  of fix)  is  not  large  relative  to  fc.

Thus,  there  is an  interesting  set  of circumstances  under  which  accurate  estimates

of  the  integrals  in  Eq.  (1)  can  be  obtained  by  a  trivial  computation. 

This  work  was

stimulated  by  some  recent  work  of  Clendenin  [2], who  indicated  that  formulas  of the

type  shown  in  Eq.  (2)  would  not  be  very  well  suited  for  practical  computations.

Since  this  was  not  supported  by  a  computation 

of  the  error  bounds,  we  decided  to

Received  May  8,  1967.

* This  work  is supported  in  part  by  the  AEC  under  contract  US  AEC  AT( 11-1) 1469.

77

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use

---

78

L.   D.   FOSDICK

determine  them.  Since  analysis  of the  error  in  Filon  quadrature  is rare,  Luke's  work

[3] being  one  of  the  rare  cases,  many  details  are  given  here.

The  Filon  Formula.  This  quadrature 

formula  is  derived  as  follows.  In  Eq.  (1)

fix)  is  replaced  by  a  polynomial  approximation, 

in  particular  a  second-degree  poly-

nomial  which  agrees  with  fix)  at  three  points.  Since  the  integrals

(8) 

S  =  J   xm sin  ikx)dx  ,       C  =    I   xm cos ikx)dx ,

a 

a

are  obtainable  in  closed  form  this  procedure  leads  to  a  quadrature 

formula.  Follow-

ing  the  usual  pattern  in  constructing  quadrature  formulas,  the  interval  of integration

(a,  b)  is  subdivided  into  p  panels,  each  of  length  2h.  The  integration  formula  is  ap-

plied  to  each  panel;  in  this  application  the  polynomial  approximation 

of fix)  is  re-

quired  to  agree  with  fix)  at  the  endpoints  and  midpoint  of  the  panel.  Finally  the

sum  of  the  contributions 

from  each  panel  gives  the  desired  quadrature 

formula.

These  formulas  are

(9) 

S  =  h[aifo  cos kxo — ftp cos kx2p) +  ßS2p +  yS2p-x] +  Es,

(10) 

C  =  h[a(J2p sin  kx2p — /0  sin  kx0)  +  ßC2p +  yC2p-x] +  Ec,

where

p

(11) 

S2p =  2/í»sm 

kx2i  — s[/o  sin  kxo +  f2p sin  kx2p],

i—0

p

(12) 

Sip-x =  ]C/2t-isin/b;2._i,

V

(13) 

C2p — Ylrlii  cos kx2i -  M/o cos kxo +  f2p cos kx2p],

•-0

p

(14) 

C2p_i =  S/2,-1  cos fccii-i,

»—1

(15) 

a  =  I/o  +  (sin  20)/202  -  (2 sin2 0)/03,

(16) 

ß  =  2((1  +  cos2 e)/82  -  (sin  2d)/d3)  ,

(17) 

7  =  4((sin  6)/93  -  (cos  9)/d2)  ,

(18) 

6 =  kh ,

(19) 

fi  =  fix/)  ,       Xi+x — Xi =  h  ,       xo =  a  ,       x2p =  b ,

and  Es  and  Ec  are  the  error  terms  associated  with  using  the  first  term  on  the  right  of

Eqs.  (9)  and  (10)  as  an  approximation 

for  S  and  C.  Where  6 is  small  it  is  necessary

to  replace  the  expressions 

for  a,  ß,  and  y  by  power  series  in  0 to  avoid  the  loss  of

significant  figures  due  to  cancellation 

in  these  expressions;  this  fact  has  been  over-

looked  in  a  recently  published  algorithm  [4].

The  Error  Term.  Peano's  theorem  [5] is  used  to  put  the  error  terms  Es  and  Ec  in

a  useful  form.  Define  the  operator

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use

---

A   SPECIAL   CASE   OF  THE   FILON   QUADRATURE   FORMULA 

79

(20) 

Lif)  =  /    fix)tix)dx -    E  bifiXi) ,

•o 

¿-1

where  Lif)  vanishes  when/  is  a  polynomial  of  degree  n  or  less,  the  Xi are  contained

in  the  closed  interval  [a,  b],  tix)  is  piecewise  continuous  in  this  interval,  and  the

in  +  l)th  derivative  oí fix)  is continuous  in this  interval.  Then,  by  Peano's  theorem,

(21) 

Lif)=  I  fn+l\t)Kit)dt,

J  a

where  K(t),  the  Peano  kernel,  is  given  by

(22) 

Kit)  =  (l/n!)L,((* 

-  t)n+) ,

and

(23) 

ix  -  t)\  =  ix  -  t)n  ,     x^t, 

       ix  -  t)n+ =  0  ,     x  <  t,

and  the  subscript  x in Lx denotes  that  x,  rather  than  t, is regarded  as  the  variable.  In

the  present  application  Es  is to  be  identified  with  Lif)  to  obtain  a  useful  expression

for  the  error  in the  quadrature  formula  for the  sine  integral;  similarly,  Ec is identified

with  Lif)  for  the  error  in  the  cosine  integral.

Let  us  now  direct  our  attention  to  applying  the  quadrature  formula  on one  panel;

thus  we  use  Eqs.  (9)  and  (10)  with  p  =  1. The  contribution  to  S  from  one  panel  is

fxi+ih

(24) 

Si  =  / 

fix)  sin  ikx)dx,

J  xi

and  the  contribution 

to  C  from  one  panel  is

/xi+ih

fix)  cos ikx)dx.

xi

After  a  change  of  variables  S,  and  C¿ can  be  expressed  as  follows:

/+h 

r+h

giiz)  sin  (kz)dz  +  sin  (kxf  +  6)  j      g^z)  cos  ikz)dz  ,

-h 

J  -h

/+h 

r+h

giiz)  cos  ikz)dz  — sin  (fcc,- +  0)  /     0,(z)  sin  ikz)dz  ,

(26)

where

(27) 

giiz)  =  fiz  +  Xi +  h)  .

Let  us  define  the  two  integrals  appearing  in  these  expressions  as

r+i> 

/•+*

(28) 

Si =    I     giiz)  sin  ikz)dz ,       c,  =    /     <7,(z) cos  ikz)dz,

J-h 

J-h

and  consider  applying  the  Filon  quadrature 

formula  to  them.  The  task  now  is  to

determine  the  Peano  kernel  for  each  case;  first  we  consider  s,-. Identifying  the  opera-

tor  L  with  the  error  term  associated  with  using  the  Filon  quadrature 

formula  for  s,-

we  have

(29) 

Lig/)  =  J     giiz)  sin  ikz)dz +  h[a  cos 0 -  |  sin »j(?<(*)  -  0,-(-A))  .

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use

---

80

L.   D.   FOSDICK

It  is  clear  that  Lig,)  is  zero  when  g,iz)  is  a  polynomial  of  second  degree,  since  the

quadrature 

formula  is designed  to  be  exact  in  this  case.  On  the  other  hand  it  is  not

exact  for  a  polynomial  of third  degree,  as  may  be  verified  by  substituting 

z3 for  g¿z)

in  Eq.  (29) ; this  is  different  from  the  situation  for  Simpson's  rule  which  is  also  de-

signed  to  be  exact  for  polynomials  of  second  degree,  but  which  is  exact  for  poly-

nomials  of  third  degree  too.  Consequently,  the  Peano  kernel  is

(30)

Ksit)  =  I  ] J     ix  — t)Y sin ikx)dx +  h[ a cos 0 — -  sin i

x  «a  -  t)+2 -  i-h  -  t)Y)

Notice  that

(31)  i-h-t)+ 

=  0,     -hgtgh, 

   ih-t)+ 

=  h-t, 

   -h^t^h

hence  the  kernel  can  be  written

(32) 

Ksit)  =  %y     ix  -  t)2sin  ikx)dx  +  h\a  cos 8  -  |  sin  0 j(A  -  t)2'

After  executing  the  integration  and  some  algebraic  manipulations 

this  becomes

(33) 

^-^(..(Xy)+!(„,_ 

„(A))}.

Similarly,  one  obtains  for  the  kernel  associated  with  the  next  integral  in  Eq.  (28)

*.„_£{,(*._«..) 

((i-!)•-<- 

i);)

+»s5í(>-iy-T0-í)-?(-—(f))}-

It  will  be noticed  that  Kdt)  contains  a multiplier  A4 instead  of A3; this  arises  from  the

fact  that  the  Filon  formula  is exact  for  c,-, Eq.  (28),  when  g^z)  =  z3. Thus  in this  case

the  situation  is analogous  to  Simpson's  rule.  Equation  (34) differs  from  Luke's  result

(Eq.  (19)  in  [3])  which  contains  an  error.  A  term  — 2(—  t/h)+3  in  Eq.  (34)  was

omitted  by  Luke.  This  omission  stems  from  the  omission  of  the  j  =  0  term  in  Eq.

(12)  of  his  paper.  As  a result  the  regions  of definiteness  for  (?i(s,  0) and  G2(s, 0) in  his

paper  are  incorrect,  but  the  error  curves  shown  in  Figs.  1-5  in  his  paper  are  correct.*

The  Simple  Formulae.  It  is apparent  that  under  the  conditions  cited  in the  intro-

duction,  Eqs.  (3)  and  (4),  the  simple  expressions  in  Eq.  (2)  result  from  Eqs.  (9)  and

(10) ; notice  that  Eq.  (4)  implies  that  0 is  an  integral  multiple  of  w,

(35) 

0 =  mr.

Recalling  the  definition  of Sit  Eq.  (26),  it  is seen  that

r+h

(36) 

Si  =  cos  ((m  +  ii  +  1)«)*")  /     giiz)  sin  ikz)dz  ,

* Private  correspondence.

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use

---

A   SPECIAL    CASE   OF  THE   FILON   QUADRATURE   FORMULA 

81

hence  only  the  kernel  2f ,(£) enters  into  a  consideration  of  the  error  associated  with

applying  the  Filon  formula  to  this  panel.  Since  we  now  have  0  =  nir,  substitution  of

this  value  in  K,it),  Eq.  (33),  yields

(37) 

K,it)  =  Qi3/nY)  (cos nir  — cos  inwt/h))  .

The  quadrature 

error  is  given  by  Eq.  (21),  hence  for  this  case

Hg¿)  =  cos  Urn  +  (• +  l)n)x)  /+  g,i3\t)

(38)

xlw(cosn,r-cos(x))r-

Since  the  kernel  does  not  change  sign  over  the  interval  of integration,  the  mean-value

theorem  can  be  applied  to  obtain

Hg/) = 9ii3)iï) cos Um +  Ü +  l)»)x) f+k (—Y

(39) 

/ 

/     \\

X I cosnw — cos ( ~  J Jdt,        — A<£

and,  performing  the  integration,

(40) 

Ligt)  =  gYYt)  cos  ((m  +  (i  +  l)n)ir)  (A/n7r)3(2A) cos  (nir)  .

Summation  of  Ligi)  over  the  p  panels  yields  the  error  Es.  Using  the  definition  of  0,

Eq.  (35),  and  the  fact  that  2hp  =  b  — a,  the  inequality  (6) results.

A  parallel  calculation  yields  the  same  inequality  for  the  error  in  the  cosine  term.

The  kernel  K dt)  does  not  enter  in  this  computation, 

since  the  coefficient  of  the

cosine  integral  in  Eq.  (26)  vanishes.

Acknowledgment. 

The  author  wishes  to  thank  Yudell  L.  Luke  for  his  helpful

comments  on  this  work.

Department 

of  Computer  Science

University  of  Illinois

Urbana,  Illinois

1.  P.  J.  Davis  &  Ivan  Polonsky 

in  Handbook  of  Mathematical 

Functions 

with  Formulas,

Graphs,  and  Mathematical  Tables,  National  Bureau  of  Standards, 

Applied  Math.  Series,  No.  55,

U.  S.  Government  Printing  Office, Washington,  D.  C,  1964. MR  29 #4914.

2.  W.  W.  Clendenin,  Numer.  Math.,  v.  8,  1966, pp.  422-436.  MR  34 #982.

3.  Y.  L.  Luke,  Proc. Cambridge Philos.  Soc,  v.  50, 1954, pp.  269-277. MR  15, 992.

4.  Linda  Teijelo,  "Algorithm  255,"  Comm. ACM, v.  8,  1965, p.  279.

5.  P.  J.  Davis,  Interpolation 

and  Approximation, 

Blaisdell,  New  York,  1965.

License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use