A
postolos Doxiadis’in Petros Amca ve Gold-
bach San›s› adl› roman›
1
matematik etra-
f›nda dönüyor. Bafllang›çta parlak bir ma-
tematikçi olan, anlat›c›n›n amcas› Petros Papahris-
tou’nun Goldbach problemine musallat olmas›n›n
ve yaflam› boyunca bu problemi çözemeyip kendi-
siyle girdi¤i iddiay› kaybediflinin öyküsü.
Hardy, Littlewood, Ramanujan, Gödel, Tu-
ring, Carathéodory ve ad› verilmeden Avusturyal›
Rademacher gibi birçok tan›nm›fl matematikçi ka-
rakter olarak serbestçe kullan›lm›fl. Ço¤u matema-
tikçinin kafas›nda bu kiflilere iliflkin imgeler zaten
vard›r, ama kitapta yüzeysel olarak serpifltirilen bu
karakterler matematikçi olmayanlara ne ifade eder
bilemiyorum.
Hemen her seferinde, haks›zca, desteksizce,
yüzeysel bir biçimde ve hatta aras›ra galizce mate-
matikçiler olumsuz karakterler olarak çiziliyor.
Örne¤in intihara e¤ilimli olmalar›, bir probleme
saplan›p kalmalar›, “vasat matematikçi” olup “yü-
rüyen trajedi” haline gelmeleri vb.
Kitaptaki karakterlerin ruhsal durumlar›n›
matematiksel problemler derinden etkiler, ancak
adlar›n›n uyand›rabilece¤i gizem d›fl›nda bu prob-
lemlerin en küçük bir aç›klamas› yok! Nitekim Pet-
ros Amca’n›n tutkusu matematikten ziyade flan ve
flöhrete yönelik: fiu genç adama bir bak, hani be-
nim − hâlâ bana ait diye düflünüyorum − do¤al sa-
y›lar›n partisyonlar› teoremini benden önce yay›m-
layan Avusturyal› vard› ya, elde etti¤i sonuçla aca-
ba bir Hilbert’in, bir Poincaré’nin payesine yüksel-
di mi? Tabii ki hay›r! Belki Matematik Saray›n›n
arka odalar›ndan birinde portresine bir yer edine-
bildi... Veyahut Hardy ve Littlewood’u düflün, iki-
si de birinci s›n›f matematikçiler. Herhalde Ünlüler
Galerisine − çok genifl bir Ünlüler Galerisidir bu,
dikkatini çekerim − ç›kabildiler, ama heykellerini
Saray›n ulu giriflinde Evklides, Arkhimedes, New-
ton, Euler, Gauss’un heykellerinin yan›na diktir-
meyi baflaramad›lar. Benim tek emelim buydu, ve
asal say›lar›n iyice derinlerdeki gizemlerini çözmek
anlam›na gelen Goldbach Kestirimi’nin ispat›ndan
daha az› bana bu yolu açamazd›
2
... (s. 93)
Peki kim bu Doxiadis
de böyle bir roman kaleme
alm›fl? Biliflim a¤›ndaki si-
tesinde yazd›¤›na göre
1953’te do¤mufl. On befl
yafl›nda New York’taki Co-
lumbia
Üniversitesi’nin
Matematik Bölümü’ne öz-
gün bir makale sunarak girmifl, Paris’te lisansüstü
düzeyde uygulamal› matematik çal›flm›fl (tamam-
lay›p tamamlamad›¤› belli de¤il.) Sonradan kendi-
ni tiyatro, film ve edebiyata vermifl, uluslararas›
ödüller alm›fl.
Burada saptamadan geçemeyece¤imiz bir olgu,
hem Petros Amca’n›n hem de Doxiadis’in dâhi ço-
cuk olarak vas›fland›r›l›p umut vaadeden matema-
tikçiler olarak yetifltirilmiflken, ihtirastan dolay›
Petros Amca’n›n çözemeyece¤i bir probleme sapla-
n›p mesleki geliflimine ve gönül maceralar›na s›rt›-
n› dönüp içine kapanmas›, Doxiadis’in ise mate-
mati¤i b›rakmas›d›r.
Doxiadis’in yans›t›fl›ndan ç›kar›labilece¤inin
aksine, matematikçilerin ço¤u bunal›m içinde de-
¤ildir. En ünlülerden örnek vermek gerekirse,
Pythagoras, Euler, Gauss, Hilbert, Hadamard ve
daha birçok matematikçi uzun, verimli ve sa¤l›kl›
yaflam›fllard›r. Herhangi bir u¤raflta ilerleme kay-
detmek için tutkunun vazgeçilmez oldu¤u kesindir.
Kitab›n, matematik tutkusunun genellikle hastal›k-
l› oldu¤u izlenimini vermeye yönelik olmas› herhal-
de yazar›n travmalar›ndan kaynaklan›yor.
Doxiadis’in yanl›fl fikirleri, üstelik birçok kifli-
72
Matematik Dünyas›, 2003 Yaz
“Petros Amca ve Goldbach San›s›” ve
Düflündürdükleri
Cem Yalç›n Y›ld›r›m* / yalciny@boun.edu.tr
* Virgül dergisinin Mart 2001 say›s›nda yay›mlanan yaz›n›n
asl›na yak›n bir uyarlamas›d›r.
Bo¤aziçi Üniversitesi Matematik Bölümü ö¤retim üyesi.
1 Yunanca: “O Theios Petros kai i Eikasia tou Goldbach”, 1992,
Kastioniotis. ‹ngilizce: “Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture”,
Faber and Faber, 2000. Türkçe: Everest Yay›nlar›, 2000, çeviren
Devrim Denizci.
2 Bu ve afla¤›daki al›nt›larda Türkçe çeviriden yararland›m. Ba-
z› paragraflar›n ‹ngilizcesi de elimdeydi, onlar›n çevirisinde de-
¤ifliklikler yapmay› uygun gördüm.
Apostolos Doxiadis
nin kolayca inanabilece¤i türden olanlar› bunlarla
bitmiyor: Bildi¤iniz gibi, matematik bir genç oyu-
nudur. Mükemmelli¤e ulaflmak için genç olmay›
flart koflan birkaç kiflinin u¤rafl›ndan biridir... (Bu
aç›dan spora çok benzer.) Matematik tarihinde
otuz befl k›rk yafl›n üzerinde büyük bulufllara imza
atanlar›n say›s› çok azd›r. Riemann otuz dokuz ya-
fl›nda öldü, Niels Henrik yirmi yedisinde, Galois
ise ne yaz›k ki yirmisinde; yine de isimleri matema-
tik tarihinin sayfalar›na alt›n harflerle yaz›ld›... Eu-
ler ve Gauss da teoremlerini ileri yafllarda ortaya
koymakla birlikte temel bulufllar›n› gençlik y›lla-
r›nda yapm›fllard›. Yirmi dört yafl›ndaki Petros,
baflka bir alanda çal›flsayd› umut verici bir genç
olabilirdi... Ama matematikte ancak yeni yeni gü-
cünün doruklar›ndayd›... On y›l içinde baflarama-
d›¤› takdirde gerçek bir Büyük Bulufl için ihtiyaç
duyulan icat yetene¤inin parlakl›¤› ve giriflimci ru-
hun coflkusu, tamamen yok olmasa da, sönmeye
bafllayacakt›... (s. 64-65; Niels Henrik’in soyad›
unutulmufl, Abel olacak!)
Bu örnekler asl›nda öne sürülen sav› baltal›-
yor! Galois yirmisinde düelloda öldü¤üne göre ile-
ri yafllarda matematik yapamamaya örnek teflkil
edemez. Euler ve Gauss’un ise ileri yafllarda mate-
matiksel sonuçlar ç›karmay› sürdürdükleri zaten
belirtiliyor. Hem matematik art›k o denli ilerlemifl
ki, oluflmufl bilgi birikimini yirmi yafl›na dek ö¤re-
nip üstüne yeni geliflmeler yaratmak mucize say›l-
mal›. Yüzelli y›l önce durum böyle de¤ildi. Üstelik,
matematiksel bilgi üretiminde olgunlu¤un getirile-
ri öteden beri bilinir.
Konuda uzman olmayan okurlar› aldatabile-
cek bir nokta da flu: Petros, Riemann Hipotezi’ni
küçümser (s. 66), onun için önemli olan Goldbach
Kestirimi’dir. Hele hele Hardy ve Littlewood’un
Riemann Hipotezi’ni varsayarak ispatlad›klar› te-
oremlere Petros’un itibar etmesi nas›l beklenebilir?
(s. 71). ‹flin asl› flu: Riemann Hipotezi’ne dayanan
ve matemati¤in gelifliminde dönüm noktas› olan te-
oremler vard›r. Riemann Hipotezi, ortaya at›ld›-
¤›ndan beri geçen yüz k›rk y›l boyunca birçok so-
nuçla desteklenmesine karfl›n ispatlanamam›fl mer-
kezi konumda bir önermedir. ‹nsanlar›n öngörüle-
rini art›rmak için ille de bu hipotezin ispat›n› bek-
lemeleri mi gerekir? Üstelik bu hipotezi do¤ru var-
say›nca ç›kan sonuçlar› irdelemek de pekâlâ sayg›n
bir u¤raflt›r. Asal say›lara iliflkin gizemler aras›nda
Goldbach Kestirimi’nin Riemann Hipotezi’nden
daha derinde oldu¤u matematikçiler aras›nda yay-
g›n bir kan›d›r. Riemann Hipotezi’nin asallar›n
da¤›l›m›na iliflkin gerektirmelerini umursamadan
Goldbach Kestirimi’ni ispatlamaya u¤raflmak ger-
çekçi de¤ildir. Yukar›daki ilk al›nt›da ima edilenin
tersine Riemann Hipotezini ispatlayabilenin hey-
keli Saray›n ulu giriflinde yer alacakt›r.
Birkaç ufak hataya da (baz›lar› çeviri esnas›n-
da ortaya ç›km›fl olabilir) çabucak de¤ineyim. Hil-
bert’in en önemli diye ilan etti¤i problemlerin say›-
s› otuz üç de¤il yirmi üçtür (s. 130); Pythagoras te-
oremindeki eflitlik x
2
+ y
2
= z
2
biçimindedir (s.
161); Gauss’un ve ondan sonra gelenlerin asal say›
teoremine varmak yolunda do¤ru bir ad›m atama-
d›klar› (s. 69) ve herhangi bir zaman diliminde
dünyan›n tek say› kuramc›s› olarak Hadamard’›n
kabul edildi¤i (s. 72) düpedüz yanl›flt›r. fiaka yollu
sözü geçen (s. 35) Nobel matematik ödülü diye bir-
fley yoktur. Bir de eklemeliyim ki Dört Renk Te-
oremi ve Fermat’n›n Son Teoremi kitab›n dedi¤i-
nin (s. 130) aksine ispata kavuflmufl durumdad›r-
lar. Kitapta Fermat’n›n Son Teoremi’nin 1993’te
ispatland›¤› her nedense ancak 161. sayfada yaza-
r›n dipnotunda verilmifl. Dört Renk Teoremi (bir
haritada ülkeler − flekilleri nas›l olursa olsun −
komflu ülkeler farkl› renkler olmas› kofluluyla dört
renge boyanabilir önermesi; komfludan kastedilen
bir e¤ri boyunca komfluluktur, bir veya birkaç
noktada birbirine de¤en ülkeler komflu say›lm›yor-
lar) 1976’da Appel ve Haken taraf›ndan bilgisayar
marifetiyle ispatlanm›flt›r. Bilgisayar kullan›lmas›-
n›n nedeni ikibin kadar hali h›zl›ca denetleyebil-
mek içindir. Bu halleri tespit edenler ve gerekli bil-
gisayar program›n› yazanlar matematikçilerdir, ya-
ni bir yapay zekâ uygulamas› söz konusu de¤ildir.
Matematikçilere iliflkin edindirdi¤i yan›lt›c›, ek-
sik, genelleyici izlenimler ve uzmanlar›n hemen tep-
ki gösterece¤i yanl›fl laflar›n d›fl›nda, diyebilece¤im,
Doxiadis zekice ve sürükleyici bir kurgu kurdu¤u.
Ayr›ca matematikçi ruhunu do¤ru verdi¤i bölümler
de yok de¤il. Örne¤in Petros Amca matematikçi ol-
may› düflünen ye¤enine yaz tatili ödevi olarak
Goldbach problemini verir (sorunun ad›n› ve ünü-
nü belirtmeyerek), çocuk çok u¤raflt›ktan sonra ye-
nilgiyi kabullenir. Y›llar sonra, Petros Amca bu
ödevi vermekteki amac›n›n çocu¤un problemi çö-
züp çözemeyece¤ini s›namak de¤il, gerekli tutkuyu
tafl›y›p tafl›mad›¤›n› a盤a ç›karmak oldu¤unu söy-
ler: Üstün baflar› için gerekli − ama seni temin ede-
73
Matematik Dünyas›, 2003 Yaz
rim, yeterli olmayan − ilk önkoflul kararl›l›kla ken-
dini adamakt›r. E¤er sahip olmay› arzulad›¤›n yete-
nek gerçekten içinde olsayd›, sevgili evlat, gelip
benden inayet istemezdin, kendi bafl›na gidip yapar-
d›n. Bu, durumunu ilk ele veren alametti!.. Uzak
bir ihtimalle senin hakk›nda yan›lm›fl olsayd›m, ve
sen gerçekten yüce olmak için seçilmifl olsayd›n, bu
deneyim seni ezmezdi. Asl›nda senin tabirinle “deh-
fletengiz” de¤il, bilakis heyecan, ilham ve yaflamgü-
cü verici olabilirdi... Ama sen... Sen çözümü sora-
cak merak› bile göstermedin! (s. 127-128).
Kitap matematik dergilerinde ve bakt›¤›m baz›
biliflim a¤› sayfalar›nda genellikle olumlu karfl›lan-
m›fl. Herhalde bunun esas nedeni baflkiflileri mate-
matikçi olan romanlar›n azl›¤› dolay›s›yla bu kita-
b›n “medyatik”likten çok uzak olan matemati¤in
gündeme gelmesine olan katk›s›. Kitab›n ‹ngilizce
yay›nc›s› Faber & Faber, 1742’den beri çözüleme-
yen Goldbach problemini 15 Mart 2002’ye dek çö-
zene bir milyon dolar ödül verecekti.
Velhas›lkelam Petros Amca Goldbach proble-
mine belas›n› satm›fl diyorum. Yazar›n matemati¤e
karfl› h›nc› oldu¤una inan›yorum. Ortaya koymufl
oldu¤um üzere, kitab›n yanl›fllarla dolu olmas› da
cabas›. Okurlara Hardy’nin Bir Matematikçinin
Savunmas›, J.P. King’in Matematik Sanat›, Sinan
Sertöz’ün Matemati¤in Ayd›nl›k Dünyas› ve Cemal
Y›ld›r›m’›n Matematiksel Düflünme adl› kitaplar›n›
öneririm.
Gelelim çeviriye. Y›¤›nla dizgi hatas›n› ve basit
yanl›fl› belirterek burada vakit tüketmek yerine,
daha hassas bir konunun, matematik terimlerinin
Türkçeye çevirisi üzerinde dural›m. Bence ‹ngilizce
“conjecture” sözcü¤üne karfl›l›k olarak “san›” ye-
rine “kestirim” daha uygun. “San›” daha çok duy-
gularda ve kiflisel anlamlar dünyas›nda gibi, öte
yandan “kestirim” düflünceye ve çözümlemeye da-
yal› tahmin anlam›n› veriyor. Çevirmen dilimizde
yerleflmifl birçok terimi bilmiyor. Örne¤in “say›
kuram›”, “paralelogram”, “çeliflkisizlik ispat›”,
“basit analiz”, “grup tasviri”, “do¤al say›lar›n
parçalanmas›” diyor ki, bunlar›n do¤rular› s›ras›y-
la flöyle: “say›lar kuram›”, “paralelkenar”, “tutar-
l›l›k ispat›”, “analize girifl”, “grup temsilleri”, “do-
¤al say›lar›n partisyonu”. Reductio ad absur-
dum’un Türkçesi var, “olmayana ergi”. Hele “e.
prof”taki e.’nin “eski”nin k›saltmas› olarak belir-
tilmesine ne demeli; “e. prof”, “professor emeri-
tus”un k›saltmas›d›r, “memuriyet unvan›n› sürdü-
ren emekli profesör” anlam›na gelir. En vahimi
“karmafl›k say›lar”a (complex numbers) iliflkin ha-
talar: ‹lk olarak 70. sayfan›n dipnotunda “karma-
fl›k say›lar” yazar taraf›ndan do¤ru tarif ediliyorsa
da, “gerçel say›” ve “sanal” olmas› gereken söz-
cükler yerine çevirmen “gerçek say›” ve “düflsel”
kullanm›fl; sonra 102. sayfada “karmafl›k say›lar”
terimi “asal olmayan say›lar”a (composite num-
bers) karfl›l›k geliveriyor! 106. sayfan›n dipnotun-
da çevirmen çok basamakl› say›lar› yazarken nok-
ta ve virgüllerin kullan›l›fl›n› bilmedi¤ini gösteri-
yor. Ayr›ca 70. sayfan›n ilk paragraf›nda “sonsuz
bir hesaplama yöntemi” ve “karmafl›k say›lar düz-
lemine uygulanan son derece küçük hesaplar” gibi
hiçbir anlam ifade etmeyen ifadelerle karfl›laflt›m.
Son olarak bir de flu komiklikten sözedeyim: 59.
sayfada “ihtiyar Ramanujan” deniyor, ama Rama-
nujan 32 yafl›nda öldü (s. 72); ‹ngilizce’de “old”
bazan “dostumuz” ya da “emektar” anlam›nda
kullan›l›r.
* * *
Tarihte asal say› kavram›na ilk Eski Yunan’da
rastl›yoruz. Eski Yunan uygarl›¤›, Thales ve Pytha-
goras’›n öncülü¤ünde (M.Ö. 6. yüzy›l) matemati¤i
M›s›r ve Babil’den ö¤rendi. Çok geçmeden mate-
matik Yunan filozoflar›nca tart›fl›l›r oldu. Bulduk-
lar› sonuçlar›n yan›s›ra, süreklilik, hareket, sonsuz-
luk, herhangi bir uzunlu¤un seçilmifl bir birim cin-
sinden ölçülebilmesi gibi, matematiksel kavramla-
r›n içerdi¤i zorluklar›n fark›na varmaya bafllad›lar.
Böylelikle matematiksel ispat ve aksiyomatik yap›
anlay›fllar› do¤du. Bilindi¤i kadar›yla ispat›n ilk ör-
neklerini geometride Thales verdi. Sonra Pythago-
ras (ya da onun kurdu¤u okul) diküçgenler için
Pythagoras Teoremi’ni ve bu teoremden yola ç›ka-
rak dikkenarlar› birim olan diküçgenin hipotenü-
sünün uzunlu¤u olan √2’nin irrasyonelli¤ini (yani
iki tamsay›n›n oran› olarak ifade edilemedi¤ini)
gösterdi.
O zamandan beri matematiksel ispat denince
bir önermenin, do¤rulu¤u aflikâr olan (ya da varsa-
y›lan) daha basit önermelerden uygun mant›k zin-
cirinin kurulmas› sonucu gösterilmesini anl›yoruz.
‹spat›n en önemli özelliklerinden birisi kal›c›l›¤›d›r:
Matematikte do¤ru bilinenler de¤iflmezler (bilimle-
rin tersine), zamanla bunlar›n üzerine yeni bilgiler
eklenir. Matematikte do¤ru bilinenlerin de¤iflmez-
li¤i matematikçileri u¤rafllar›n›n evrenselli¤ine
inand›r›r. Bu noktada flu soru hemen akla gelebilir:
74
Matematik Dünyas›, 2003 Yaz
Bir ispat›n do¤ru oldu¤una nas›l emin olabiliriz?
‹spatland›¤› iddia edilen ç›kar›m birçok kifli tara-
f›ndan incelenir, hiç yanl›fl bulunmazsa (ya da bu-
lunan yanl›fllar düzeltilebilirse) matematikçiler za-
manla ispat›n geçerlili¤i yönünde hemfikir olurlar
ve o ç›kar›ma ispat denmeye bafllan›r.
Zaten √2 ya da (1+√5)/2 (alt›n oran) gibi irras-
yonel say›larla geometrik problemler yüzünden ta-
n›flan Eski Yunanl›lar, belki de irrasyonel say› kav-
ram›n›n getirdi¤i zorluklardan ötürü, matemati¤in
temel ögeleri olarak say›lar›n yerine geometrik
kavramlar› (nokta ve do¤ru) görmeyi seçtiler. Sözü
geçen zorluklarla bafla ç›kmak için Evdoksos ge-
ometrik süreklilik (continuum) kuram›n› ortaya at-
t›. fiimdi bize apaç›km›fl gibi gelen bir do¤runun
deliksiz olarak noktalardan olufltu¤unu söyleyen
bu kuram›n getirdi¤i geliflim düzeyi ancak 19. yüz-
y›lda kurulabilen irrasyonel say›lar kuram›yla afl›-
labildi. Eski Yunanl›lar matematikte bildiklerini,
varsay›mlardan bafllay›p sonuçlara varan dizgesel
bir yap›ya kavuflturmaya çal›flt›lar. Bu çal›flmalar
Evklides’in (M.Ö. 4. yüzy›l) kitaplar›yla doru¤a
ulaflt›. Matematik art›k yaln›zca uygulama amaçl›
bilgiler y›¤›n› olman›n ötesine geçmifl, salt kendisi
için de yap›lmaya bafllanm›flt›. Eski Yunanl›lar›n
geometrik yaklafl›mlar›, sonradan temel konumu
ele geçiren say› ve cebirsel ifllem kavramlar›n› bü-
yük ölçüde ›skalayarak matemati¤in ve bilimlerin
geliflmesine ket vurdu. Yine de asal say›lar hakk›n-
daki en temel teoremler Evklides’in kitaplar›nda
ortaya ç›km›flt›. Evklides yazmamas›na karfl›n her-
halde her tamsay›n›n bir ve yaln›z bir flekilde asal
çarpanlara ayr›labildi¤ini (aritmeti¤in temel teore-
mi) biliyordu. Üstelik Evlikdes asal say›lar dizisinin
sonsuzlu¤unu ispatlad›. Eski Yunan’da say›lar ku-
ram›n›n son sesi Diofantus’tan (M.S. 3. yüzy›l) gel-
di. Sonra say›lar kuram› karanl›k ça¤lara girdi, ta
ki Diofantus’un ‹skenderiye yang›n›ndan beri ka-
y›p kitaplar›n›n baz›lar› bulunana ve Bachet tara-
f›ndan 1621’de Latinceye çevrilene dek (Diofan-
tus’un on üç kitab›ndan alt›s› 1464’de Almanya’da
bir kütüphanede ortaya ç›kt› ve astronom Regi-
omantus’un eline geçti. Son y›llarda Diofantus’un
dört kitab› daha ortaya ç›km›flt›r.) K›sa süre içinde
bu kitaplar› okuyup etkilenen Mersenne ve Fer-
mat’dan bafllayarak asal say›lar ve say›lar kuram›-
n›n di¤er konular› günümüze dek uzanan h›zl› ge-
liflme dönemine girdi.
1742’de, matematikte ad› baflka hiçbir yerde
geçmeyen Goldbach, meflhur Euler’e yazd›¤› bir
mektupta, 2’den büyük her çift say›n›n iki asal›n
toplam› olarak ifade edilebilece¤inin ispat›n›, ya da
bu önermenin yanl›fll›¤›n›n ispat veya örnek yoluy-
la gösterilmesini istedi. Goldbach denedi¤i bütün
örneklerde önermenin tuttu¤unu görmüfltü (4 = 2
+ 2, 16 = 5 + 11, 114 = 7 + 107 gibi.) Aradan ge-
çen çeyrek biny›lda kimse Goldbach Kestirimi de-
nilen bu önermeyi veya aksini ispatlayamad›. Buna
çok yak›n olan ikiz asallar dizisinin sonsuzlu¤u
önermesi de ispatlanamad› (ikiz asallar, aralar›n-
daki fark sabit olan asal say› çiftleridir; 5 ve 7, 17
ve 19, 101 ve 103 gibi.) Dile getirilifli çok kolay
olan bu tür önermelerin tüm insanl›k için en zor
problemler kümesinde yer ald›¤› anlafl›ld›. Zorlu-
¤un temel nedeni yal›nl›kla flöyle belirtilebilir: Asal
olmak, tan›m› gere¤i, çarp›msal bir özellik iken,
Goldbach veya ikiz asal problemlerinde toplama
ifllemi iflin içindedir.
Euler, Goldbach Kestirimini ispatlayamad›ysa
da, asal say›lar dizisi ve tüm do¤al say›lar›n dizisi
aras›nda iliflkiler veren analitik ifadeler buldu. Son-
radan Riemann’›n (1859) 盤›r aç›c› fikirleri bun-
lardan kaynakland›. Arada geçen sürede en önem-
lileri Gauss, Legendre, Dirichlet, Çebiçev ve Mer-
tens taraf›ndan olmak üzere asal say› teoremi hak-
k›nda çal›flmalar yo¤unluk kazand›. ‹lk Gauss’un
tahmin etti¤i bu teorem (1792), genel olarak, x çok
büyük bir say›ysa, 1’le x aras›nda yaklafl›k x/ln(x)
tane asal say› oldu¤unu söyler. Asal say› teoremi-
nin ispat›, ancak Riemann’›n tan›mlad›¤› ve baz›
özelliklerini gösterdi¤i zeta fonksiyonu’nun iyice
incelenmesiyle, 1896’da Hadamard ve de la Vallée
Poussin taraf›ndan ayr› ayr› verildi. Riemann, zeta
fonksiyonuna iliflkin baz› önermeleri ispats›z yaz-
m›flt›. Bunlardan biri d›fl›nda hepsi zamanla ispata
kavufltu: Karmafl›k say›lar düzleminde tan›mlan-
m›fl zeta fonksiyonunun sa¤ yar›-düzlemde s›f›r de-
¤erini ald›¤› noktalar›n tümünün bir do¤ru üzerin-
de (gerçel k›sm› 1/2 olan noktalar›n do¤rusu) bu-
lundu¤u önermesi ise ispats›z kald›, ve Riemann
Hipotezi ad›yla an›l›r oldu. Riemann’›n açt›¤› yol
20. yüzy›lda kâh zeta fonksiyonunun yeni özellik-
lerinin keflfine, kâh asal say› teoremindeki hata pa-
y›n›n ayr›nt›l› olarak incelenmesine ve yeni kesti-
rimlerin ortaya ç›kmas›na olanak sa¤lad›. Ri-
emann zeta fonksiyonu, birçok özelli¤inin asal sa-
y›lar›n da¤›l›m›yla karfl›l›kl› iliflkiler içinde olmas›-
n›n (hatta belki de asal say›lara iliflkin herfleyi kod-
75
Matematik Dünyas›, 2003 Yaz
lamas›n›n) d›fl›nda, genellemeleriyle birlikte mate-
mati¤in baflka dallar›nda ve kuantum mekani¤inde
de rol sahibi oldu. Vinogradov (1937) yeterince
büyük (ama buna belli bir de¤er vermeksizin) her
tamsay›n›n en çok dört asal›n toplam› olarak yaz›-
labilece¤ini gösterdi. Schnirelmann ise 1931’de
2’den büyük her tamsay›n›n en çok üç yüz bin asa-
l›n toplam› olarak yaz›labilece¤ini ispatlam›flt› (üç-
yüzbin flimdi yediye indirilmifl durumda.) Gold-
bach problemine en yak›n sonuçlardan biri de
1973’te Chen’in yeterince büyük her çift say›n›n
bir asal ve bir de en çok iki asal çarpan› olan bir sa-
y›n›n toplam› olarak ifade edilebilece¤ini ispat› ol-
du. Ama hâlâ Goldbach Kestirimi’nin yak›n gele-
cekte çözümü için pek umut yok.
1931’de Gödel, matemati¤i ve felsefeyi sarsan
iki “eksiklik teoremi” ispatlad›: 1) Do¤al say›larda
do¤ru olan ama ispatlanamaz (toplama ve çarpmay-
la ilgili) önermeler vard›r ve 2) Aritmeti¤in tutarl›l›-
¤› aritmeti¤in kendi içinde ispatlanamaz. Eksiklik te-
oremlerinin etkisiyle Goldbach Kestirimi ve Ri-
emann Hipotezi’nin üzerinde karara var›lamayacak
olas›l›¤› olsa da, bu görüflün say›lar kuramc›lar› ara-
s›nda çok taraftar› yoktur (ama ünlü matematikçi
Knuth, Goldbach Kestirimi’nin Gödel’in varl›¤›n›
gösterdi¤i ispatlanamayacak teoremlerden biri oldu-
¤una inanmaktad›r.) Goldbach Kestirimi’yle mate-
mati¤in temelleri aras›nda baz› iliflkileri irdeleyen
Pogorzelski’nin çal›flmalar›n›n say›lar kuram›n› etki-
leyecek bir duruma geldi¤ini sanm›yoruz.
Matemati¤in birçok dal›nda büyük geliflmelere
yol açm›fl olan Gauss, matemati¤in bilimlerin kra-
liçesi, say›lar kuram›n›n da matemati¤in kraliçesi
oldu¤unu söylemiflti. Kronecker de “Tanr› do¤al
say›lar› yaratt›, di¤er herfley insan ürünüdür” de-
miflti. ‹mdi asal say›lar hakk›nda bilinenlerin uygu-
lamalar› var m› diye merak edenler olabilir. Say›lar
kuramc›lar›n›n ço¤u bir problemle u¤rafl›rken uy-
gulamalara iliflkin kayg› tafl›mazlar. Matemati¤in
matematik için yap›lmas›na en çok de¤er verip, uy-
gulamalara omuz silkenlerin bafl›nda Hardy gelir.
Ne var ki, Hardy’nin çok sevdi¤i asal say›lar art›k
flifrelemede, biliflim a¤›ndaki güvenli¤i sa¤lamakta
kullan›lmaktad›r. Bunun neye dayand›¤› kolayl›kla
aç›klanabilir. Size iki asal say› verilse (diyelim 97
ve 89) bunlar›n çarp›m›n› (97 × 89 = 8633) hemen
bulabilirsiniz. Ama size 8633 say›s› verilip bunun
asal çarpanlar› sorulsa 97 ve 89’u bulman›z daha
zor olur. Say›lar büyüdükçe bu ifl iyice zorlafl›r, öy-
le ki bilinen en büyük asallar (bugün, 2
13466917
−
1 bilinen en büyük asal olma rekorunu elinde tutu-
yor) kullan›ld›¤›nda ayn› soruyu yan›tlamak bilgi-
sayarlar›n bile binlerce y›l›n› alacakt›r. Böylelikle
iki büyük asal al›p, bunlar› çarp›nca ç›kan say›y›
tüm dünyaya ilan edersiniz, ama kimse çarpanlar›-
n› bulamaz. Say›lar kuram›n›n en kolay baz› te-
oremlerinin yard›m›yla, bu olgu yaln›zca istedi¤i-
niz kiflilerin k›rabilece¤i bir flifreye sahip olman›z›
sa¤lar. Bu konuda geçen y›l önemli bir geliflme ol-
du. Üç Hintli matematikçi (Agrawal, Kayal ve Sa-
xena) verilen bir tamsay›n›n asal olup olmad›¤›na
nispeten k›sa zamanda (polinom-zamanl›) koflul-
suzca karar veren bir algoritma buldular (daha ön-
ce Riemann Hipotezi’nin do¤rulu¤u koflulu varsa-
y›larak bu yap›labiliyordu.)
Ad astra per aspera! ♥
76
Matematik Dünyas›, 2003 Yaz
Çember
Elips
???
P
a
A
P
b
a
A
B
A
a
b
B
C
c
P
Verilen bir A
noktas›na
uzakl›¤›n›n karesi sabit (a
2
) olan
noktalar ( P) kümesi bir çember-
dir.
Verilen A ve B noktalar›na uzak-
l›klar›n›n karelerinin (a
2
ve b
2
)
toplam› sabit (r
2
) olan noktalar
(P) kümesi bir elipstir.
Verilen A, B ve C noktalar›na
uzakl›klar›n›n karelerinin (a
2
, b
2
ve c
2
) toplam› sabit (r
2
) olan
noktalar ( P) kümesi nedir?
Dostları ilə paylaş: |